Le operazioni aritmetiche - Considerazioni didattiche

La voce Le 4 operazioni deGli Oggetti Matematici richiama il significato delle 4 operazioni (relazioni tra loro, situazioni di cui sono modello, interpretazione geometrica, …). Può essere la sintesi di tutta una serie di osservazioni e riflessioni, svolte in più occasioni all'inizio del biennio, utili a rivedere alcuni concetti e abilità di base, ed anche a creare i presupposti per successivi interventi didatticamente efficaci nei confronti degli alunni che manifesteranno difficoltà nell'impostazione delle equazioni. È utile, in particolare, discutere con gli alunni le loro strategie di calcolo mentale, mettendole in discussione se errate, proponendo alternative, … ma senza porsi l'obiettivo di imporre loro procedimenti diversi da quelli che impiegano, se corretti:  persone diverse possono, per i motivi più vari, preferire seguire ragionamenti di tipo differente.

Le attività sulla linea dei numeri, in particolare quelle che coinvolgono i numeri negativi, sono assai utili per consolidare (anche attraverso la riproposizione di esercizi simili) l'abitudine ad appoggiarsi alla (immagine mentale della) linea dei numeri. È importante introdurre correttamente i numeri negativi, non far usare regolette (foriere di misconcezioni) come "−" per "−" fa "+", non far mettere il segno "+" davanti ai numeri positivi, …. Errori frequenti frutto di queste misconcezioni sono, ad es., quello di trasformare A(−B)(−C) in A+BC ("−" · "−" = "+") e quelli esemplificati negli esercizi 1a.1 su "termini ed equazioni" e 2.8 sui "numeri". Alla voce Funzione-1 si torna sul significato dei numeri negativi, contestualmente alla presentazione della funzione "valore assoluto".

È utile interpretare gli errori o le difficoltà di calcolo numerico, scritto o mentale, degli alunni, farne esplicitare le origini, far fare verifiche delle proprietà usate erroneamente (o di quelle non usate) su semplici casi, ricorrere a modelli interpretativi di tipo geometrico per generalizzare esempi numerici, come i seguenti (il primo illustra una proprietà utilizzabile, il secondo un errore):

Queste riflessioni/attività dovrebbero facilitare l'interiorizzazione delle trasformazioni a cui può essere sottoposto un termine numerico da parte degli alunni che incontrano difficoltà di fronte a ragionamenti più formalizzati.

Alla voce Struttura dei termini sono illustrate rappresentazioni grafiche della struttura dei termini, anch'esse introducibili, in modo operativo, a partire dalle prime attività del biennio.

Attività sul significato delle operazioni e sulla loro interpretazione geometrica possono essere suggerite anche da vari esercizi presenti nell'"eserciziario" (argomento "operazioni", parti 0, 1 e 2) da cui si può accedere dalla sezione percorsi e materiali.

Nota. Le operazioni aritmetiche sono le prime funzioni numeriche con cui si ha a che fare nella vita scolastica. Nella voce Funzione-1 le operazioni vengono inquadrate in questo concetto più generale. Il termine operazione in matematica viene usato in diversi modi nelle varie aree della disciplina. In genere indica una funzione (o applicazione) descritta attraverso un procedimento (in senso lato, non necessariamente "meccanico") e che assume un rilievo particolare nella caratterizzazione di un certo tipo di struttura matematica o di un particolare settore della matematica; il simbolo funzionale utilizzato per descriverla viene chiamato operatore, ma a volte con questo termine si inidica la funzione stessa. Esempi: l'unione tra due insiemi (è un'operazione che a due insiemi associa un altro insieme, e che dà una certa struttura algebrica alla classe dei sottoinsiemi di un certo insieme), la composizione di funzioni, il passaggio al limite, la derivazione e l'integrazione, i prodotti scalare e vettoriale, …
Negli Oggetti Matematici "operazioni" viene, inizialmente, usato essenzialmente per descrivere funzioni a input e output in uno stesso insieme di cui viene studiata la struttura algebrica rispetto ad esse, con una intuitiva generalizzazione del concetto di operazione artimetica. Si vedano le voci richiamata nelle righe seguenti di queste "considerazioni didattiche".


Una rilfessione più generale sulle operazioni viene svolta alla voce Strutture numeriche. Le loro proprietà sono approfondite alla voce Termini equivalenti. Nella voce Calcolo approssimato sono sistemate le riflessioni sul modo in cui si opera con valori approssimati.

Nello sviluppo dell'insegnamento della matematica nelle sue varie aree è importante via via mettere in luce (in modo occasionale, senza soffermarsi troppo) analogie e differenze tra modi in cui si opera sui numeri e modi in cui si opera su altri oggetti matematici. Queste considerazioni sparse possono costruire gradualmente il terreno su cui, poi, tra la fine del biennio e l'inizio del triennio, impostare (nelle classi non troppo "difficili") una sistemazione più organica, come quella presentata nella voce Strutture numeriche e non.

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