Continuità - Considerazioni didattiche

Per l'introduzione dei numeri (che è stata sviluppata attraverso varie voci, e in particolare neI numeri e nelle Strutture numeriche) si è scelto un approccio costruttivista; in breve:
–  i numeri reali sono stati presentati come opportune successioni di caratteri (cifre, "." e "–"), con una opportuna relazione di "eguaglianza" (3.7999…=3.8000…, ecc.),
–  le operazioni sui numeri decimali limitati sono state definite algoritmicamente,
–  esse sono state poi estense ai numeri reali mediante i concetti di approssimazione e, senza formalizzazioni, di limite e di funzione continua (es.: per ottenere il risultato di x·y con una certa precisione basta operare su intervalli di indeterminazione per x e per y sufficientemente piccoli).
    A sua volta, le riflessioni, di approfondimento e di sintesi, sulla risoluzione (grafica, numerica e simbolica) di equazioni, sistemi e disequazioni non mirano a mettere a punto specifiche tecniche, quanto metodi basati sull'uso, più o meno formalizzato, di alcuni concetti generali:  funzione inversa, funzione iniettiva e continuità; ciò è stato fatto in varie voci, in particolare in Funzioni 1 e in Risoluzione di equazioni 1.
   La voce Continuità dà, infine, una prima sistemazione formale al concetto di continuità.

    Questa (la continuità delle funzioni reali di variabile reale) è stata introdotta solo su intervalli, non in punti, mediante quella che viene tradizionalmente assunta come definizione di uniforme continuità  (F č continua in [a,b] se all'infittire degli input fornisce output man mano pių fitti);  questa strada  (che è quella scelta nell'ambito della matematica costruttiva e in alcuni manuali di Calculus, come il Lax-Bernstein-Lax, "Calculus with Applications and Computing", e che è stata individuata come possibile scelta didattica, per la scuola secondaria superiore, in una conferenza dell'Unione Matematica Italiana da Prodi)  ci sembra che  (oltre a facilitare l'introduzione dell'integrazione - molto spesso nei libri sono presenti dimostrazioni o giustificazioni errate della integrabilià delle funzioni continue)  abbia due vantaggi:
# è più vicina al concetto "intuitivo" di continuità (che non è "puntuale") e è adeguata a tutti gli sviluppi affrontabili nella scuola secondaria superiore;
# corrisponde al concetto di funzione tabulabile, ovvero rappresentabile (graficamente o tabularmente) con un calcolatore: comunque si fissi Δy si può trovare n tale che, ripartito [a,b] in n intervallini uguali, f(x) è approssimata con errore inferiore a Δy da f(x_i) se x_i è un estremo dell'intervallino in cui cade x.
    Questo è un tipico esempio di una soluzione didattica che potrebbe superare alcune delle difficoltà concettuali che gli alunni incontrano nell'affrontare l'argomento in questione. Nell'ambito dello studio dei processi di apprendimento queste difficoltà vengono spesso collegate alla presenza di alcuni "ostacoli epistemologici", che si cerca di individuare sia con riflessioni "teoriche" che attraverso opportune attività di sperimentazione. A volte, tuttavia, queste ricerche fanno riferimento a una presentazione di un determinato concetto matematico (per intenderci: la continuità definita puntualmente, gli enti geometrici primitivi presentati per via assiomatica, ...) che viene assunta come assoluta, senza preoccuparsi della possibilità di diverse presentazioni (spesso con clamorose incomprensioni delle presentazioni matematiche scelte: si pensi alle confusioni concettuali sull'aritmetica e la geometria presenti nei lavori di Piaget e, soprattutto, dei suoi epigoni).
    Sulla usuale definizione si tornerà successivamente, nel triennio, alle voci  Limiti  e  Proprietà delle funz. continue e di quelle derivabili.
    Il terorema che ogni funzione continua in (tutti i punti di) un intervallo chiuso [a,b] è uniformemente continua nello stesso intervallo è noto come teorema delle piccole oscillazioni ("small-span theorem").
    Il concetto di uniforme continuità differisce da quello di continuità solo, in particolari casi, sugli intervalli non chiusi; ad esempio, nel disegno sottostante, F e G sono uniformenente continue in ogni intervallo chiuso contenuto nell'intervallo (a,b); invece se ci si riferisse all'intervallo (a,b) avremmo che F (supposto che F(x) → ∞ per x → a+) non è uniformemente continua in esso, mentre è continua in ogni punto di esso. Ciò, comunque, non crea contraddizioni o dubbi: noi abbiamo definito la continuità solo per intervalli chiusi; possiamo estenderla facilmente al caso degli intervalli aperti dicendo che è continua in essi se lo è in ogni intervallo chiuso in essi contenuto.

    Molti esempi, a vari livelli di difficoltà, oltre che richiamati all'interno delle varie voci, sono presenti nella sezione esercizi.

    Tra gli esempi a cui puoi accedere dalla sezione puoi trovare un collegamento alle Schede di Lavoro e tra queste a quelle, per le classi 2ª e 3ª, su "funzioni ed equazioni - 2" e sul "concetto di limite". Esse mettono a disposizione molto materiale sul tema, utilizzabile, direttamente o opportunamente rielaborato, per organizzare attività didattiche.

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