Formule, termini e grafi - Considerazioni didattiche

Le voci  FormuleStruttura di un termine  e  Grafi  hanno l'obiettivo (assieme ad altre voci degli Oggetti Matematici) di introdurre alcuni aspetti di base della scrittura, interpretazione e modificazione delle formule, in modo decisamente diverso dal modo "buffo" di introdurre il calcolo algebrico usato in genere nei libri di testo (introduzione di strane cose chiamate polinomi, che tali non sono [vedi l'es. 3.11 a cui accedi da qui], slegame dall'uso di questi oggetti per rappresentare e risolvere equazioni, …).  Questi concetti vengono usati in varie delle successive voci, per poi avere un approfondimento nella voce di "sintesi" Termini equivalenti, e in alcune successive voci, come, ad es., Potenze-2.

In particolare, in Formule, oltre a una prima sistemazione di concetti algebrici visti in precedenza, viene ripreso come fare calcoli di "proporzionalità", l'uso del concetto di "funzione inversa", oltre ad alcune tecniche di manipolazione algebrica di base.  In Struttura di un termine, e poi in Grafi, viene introdotto l'uso dei "grafi ad albero", importante per imparare il significato delle formule, imparare a passare da un linguaggio all'altro, leggere le formule non solo come sequenze di simboli, consolidare le prime convenzioni nella scrittura dei termini, … e per descrivere procedimenti non facilmente descrivibili come formule, per risolvere problemi, ... (e vengono introdotti con esempi e, poi, con "prime" definizioni, i principali concetti algebrici – si veda gli es. 2.12 e 2.19 per i grossolani errori spesso presenti nelle definizioni scolastiche).

Si è cercato di puntare molto sull'analisi della struttura dei termini, pensando che difficoltà relative a questo aspetto siano all'origine di molti dei più comuni errori degli alunni.  Si è cercato, poi, di stimolare gli alunni a individuare, esplicitare e controllare i procedimenti di trasformazione man mano indicati nei vari passaggi.  L'obiettivo non è quello di dimostrare agli alunni tutti i procedimenti di trasformazione algebrica; del resto, per esempio, abbiamo scelto di non mettere la proprietà associativa ma direttamente la "proprietà del riordino", che non sarebbe stato affatto banale dimostrare a partire dall'associatività e dalla commutatività (proprietà che per altro richiederebbero a loro volta una giustificazione, riferita agli algoritmi per le operazioni o di tipo assiomatico).  L'obiettivo è piuttosto quello di far fare il calcolo algebrico avendo chiari i sottotermini su cui si opera e riconducendo le trasformazioni man mano effettuate a regole di riscrittura su "metavariabili" (le lettere in grassetto che abbiamo usato nelle regole di riscrittura) che si presentano come formule su cui è più facile il controllo semantico.
Va notato che non si parla di radicali aritmetici. È uno strano concetto presente in alcuni libri di testo, ma che ha poco a che fare col concetto che, un tempo, si usava individuare con tale termine, per distinguerlo dai radicali algebrici: col primo si indicava quella che negli Oggetti Matematici viene chiamata semplicemente "radice", col secondo si indicava l'insieme delle soluzioni di un'equazione (con incognita x) del tipo xn = k;  ad es. nel caso di x2=4 si avrebbe {−2,2}.  In questi libri viene chiamato radicale aritmetico la radice solo dei numeri non negativi. Quindi 3√(-8) (che sappiamo essere -2) non esisterebbe. Poi, quando si passerebbe a quelli che secondo gli autori sarebbero i radicali algebrici, si potrebbe, magicamente, riprendere in uso tale termine!
Come già osservato, si è evitato di introdurre definizioni generali di monomio e polinomio (quelle presenti nei libri di testo in genere contengono errori e confusioni concettuali tra aspetti semantici e aspetti sintattici), rinviando l'introduzione della nozione di "polinomio in x" a una presentazione riferita al concetto di funzione e successiva a un adeguato consolidamento del concetto di equazione.

Una sistemazione delle cose via via introdotte trova una prima sistemazione nella voce "Termini equivalenti". Ecco alcuni link a tale voce che ne evidenziano il ruolo e la natura:  unoduetrequattrocinque.

Una attenzione particolare va usata nell'impiego del simbolo "=", che appositamente, nella voce "Formule" e poi, più esplicitamente, nella voce "Termini equivalenti", viene rimpiazzato in alcuni specifichi casi dal simbolo "→". Sul ruolo di "=" si torna più volte, ad es. nelle voci calcolo approssimato, risoluzione di equazioni-1 e calcolatore-3

Per qualche considerazione storica e didattica sull'algebra elementare vedi qui.

Sul significato di "simbolo" (e più in generale di "artefatto") vedi qui.

Tra gli esempi a cui puoi accedere dalla sezione percorsi e materiali puoi trovare un collegamento alle Schede di Lavoro e tra queste a quelle dell'unità didattica "Le statistiche" (e le relative "guide"), che mettono a disposizione materiale utilizzabile, direttamente o opportunamente rielaborato, per organizzare attività didattiche che coinvolgono l'introduzione e l'uso delle formule. Molti esempi, a vari livelli di difficoltà, sono presenti anche nella sezione esercizi.

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