Per un esempio di quanto sia assurdo definire (prima dell'università) le funzioni
da A in B come sottoinsiemi F di A×B tali che per ogni x in A esista un unico y in B tale che (x,y) stia in F si pensi alla
divisione intera tra i numeri naturali.
Indichiamo con N l'insieme dei numeri naturali e con D tale funzione.
Sappiamo che la divisione intera tra 5 e 3 ha come risultato la coppia: quoziente 1 e resto (minore di 3) 2 (infatti 1·3+2 = 5).
Sappiamo che la divisione intera tra 6 e 3 ha come risultato la coppia: quoziente 2 e resto (minore di 3) 0 (infatti 2·3+0 = 6).
Sappiamo che la divisione intera tra 0 e 3 ha come risultato la coppia: quoziente 0 e resto (minore di 3) 0 (infatti 0·3+0 = 0).
Sappiamo che la divisione intera tra 3 e 0 non è definita (infatti non c'è alcun numero naturale minore di 0).
All'insieme D dunque appartengono
la coppia che ha come primo elemento (5,3) e come secondo (1,2),
la coppia che ha come primo elemento (6,3) e come secondo (2,0),
la coppia che ha come primo elemento (0,3) e come secondo (0,0),
ma
nessuna coppia che ha come primo elemento (3,0).
Dunque D sarebbe un opportuno sottoinsieme del prodotto cartesiano A×B dove:
A sarebbe N×N+ con N+ = {n ∈ N tali che n ≠ 0},
e B sarebbe N×N,
Ossia un opportuno sottoinsieme di (N×N+)×(N×N).
Ma questo esempio sarebbe, tutto sommato, facile. Pensiamo a quest'altro esempio.
Consideriamo la funzione min che ad una qualunque sequenza finita di numeri reali associa il loro minimo.
Sappiamo che possiamo (formalmente) definire la funzione così: se la sequenza s è costituita da un unico numero m
min(s) = m; se la s sequenza è costituita da n+1 numeri, se p è il minimo
dei primi n numeri e q è l'n+1-esimo numero, min(s) è p se p ≤ q,
q altrimenti.
Questa è una delle prime, e più semplici, funzioni che si introducono a scuola
(non formalizzando la definizione ricorsiva, ma dando l'idea, chiara, di come si determina il minimo tra più numeri). Come definirla con
l'approccio considerato all'inizio?
B sarebbe R. Ed A?
Sarebbe l'unione di tutti gli insiemi Rn (dove n varia tra i numeri interi positivi):
i singoli numeri, le coppie di numeri, le terne di numeri,
. E Rn dovrebbe essere definito
ricorsivamente
Le cose, poi, non sarebbero finite. N e R non sono "insiemi", ma "strutture" (insiemisticamente
non posso distinguere N da Q, R da C)
:
un universitario dovrebbe vedere questi oggetti in tale modo! Ma il discorso si fa complicato
Qui puoi trovare qualche rapida considerazione storica.