Le funzioni polinomiali - Considerazioni didattiche

Un piccolo inquadramento del tema ...
    Tra le prime voci degli Oggetti Matematici viene introdotto il concetto di funzione, sotto forma sia di algoritmo che di tabella e di grafico.  Il riferimento a questo concetto entra in gioco nella definizione dei termini e, quindi, delle formule.
    Le riflessioni, di approfondimento e di sintesi, sulla risoluzione (grafica, numerica e simbolica) di equazioni, sistemi e disequazioni e sulle funzioni polinomiali sono volte non tanto alla messa a punto di specifiche tecniche, quanto alla individuazione di metodi basati sull'uso di alcuni concetti generali (funzione inversa, funzione iniettiva, continuità, connettivi logici, … ).  Sono previsti riferimenti espliciti all'uso del computer, sia per la rappresentazione e lo studio grafico di funzioni ed equazioni che per motivare, esercitare e inquadrare in un contesto più generale l'uso dei linguaggi formali, di cui l'usuale linguaggio algebrico è solo un esempio.
    Sono, sin dalle prime voci, esaminati vari tipi di funzioni (e di equazioni), anche se all'inizio ne vengono studiate più a fondo solo alcune (senza questo inquadramento più generale non si potrebbero mettere in luce, per contrasto, le caratteristiche di queste ultime).  Si è evitato di introdurre tecniche ad hoc per questioni che possono essere affrontate con metodi più generali e di sviluppare su casi particolari aspetti che, senza dispendio e con maggiore significatività, possono essere visti in contesti più generali.  Sono proposte, quindi, risoluzioni per via grafica/numerica anche di equazioni, disequazioni e sistemi di cui non si studiano ancora procedimenti risolutivi di tipo simbolico, si considerano i radicali quadratici come casi particolari di elevamenti alla potenza, si studiano procedimenti generali per trasformare termini in termini equivalenti, comporre e operare con funzioni di vario genere (non solo nei casi particolari delle funzioni polinomiali, delle traslazioni, …), si individuano "analogie strutturali" tra funzioni e tra relazioni diverse, …

    Con questa premessa, che in qualche modo riprende quanto discusso nella guida relativa ai Concetti di funzione e di risoluzione di un'equazione, si vuole sottolineare l'importanza di avviare solo in un secondo tempo lo studio delle equazioni polinomiali.
    Per altro queste, e i polinomi più in generale, sono introdotti in modi buffi, ed errati, in gran parte dei libri di testo. Si vedano, ad esempio, i seguenti esercizi, dal 3.11 al 3.14 (se si vuol provare a riflettere da soli), o direttamente quanto detto qui.  Purtroppo le modalità in cui, spesso, vengono introdotti i polinomi nella scuola secondaria superiore lascia una traccia che dura nel tempo, anche in chi prosegue gli studi: si vedano gli esiti di quest'altro esercizio, a cui è stato sottoposto un gruppo di laureati in facoltà scientifiche.

    Lo studio, specifico, delle Funzioni polinomiali viene affrontato nella omonima voce degli Oggetti Matematici, che sintetizza argomenti che devono essere affrontati in più lezioni, intercalati da vari esercizi (una possibile scheda di lavoro). Ecco una loro breve sintesi:

•  le funzioni polinomiali F hanno la caratteristica di avere un andamento del grafico e i valori delle soluzioni di F(x)=0 studiabili con metodi standard;
•  le funzioni polinomiali sono tutte continue su R;
•  tra i polinomi esiste un'operazione di divisione con resto, che ha varie analogie con quella tra i numeri interi;
•  il teorema del resto (o di Ruffini);
•  una equazione polinomiale di grado n ha al più n soluzioni;
•  la soluzione di una equazione polinomiale di 2 grado è interpretabile come ricerca delle intersezioni con l'asse x di una parabola le cui coordinate dipendono dai coefficienti dell'equazione stessa;
•  è utile memorizzare la scomposizione di alcuni polinomi in polinomi di grado inferiore;
•  perché dedicare tanta attenzione alle funzioni polinomiali?

    Val la pena soffermarsi un attimo sulla cosiddetta regola di Ruffini, da non confondere con l'importante "teorema di Ruffini":  è un procedimento "magico", che oscura il significato della divisione tra polinomi, di cui è facile perdere il controllo semantico, che funziona solo in alcuni casi di divisione, e che non fa risparmiare un gran ché né in termini di spazio né in termini di tempo. Data la sua natura didatticamente dannosa,  riportiamo qui  le considerazioni su di essa svolte da Vinicio Villani in un capitolo di un suo bellissimo libro (che ogni insegnante dovrebbe leggere).  [nota:  all'estero è nota in genere come "regola di Horner" (vedi: http://en.wikipedia.org/wiki/Horner's_method); Horner e Ruffini hanno messo a punto questo metodo entrambi intorno al 1810, anche se esso era già stato individuato più di 500 anni prima dal cinese Chu Shih-Chieh; la "regola" ha alcune applicazioni specifiche che danno ad essa un ruolo ben diverso da quello esercitato dalle pratiche didattiche; all'estero in genere non c'è alcuna traccia di questa regola nei libri di testo; vedi qui quanto è dedicato alla divisione tra polinomi nell'eserciziario di algebra che per decenni è stato il più diffuso al mondo]

    Le caratteristiche delle funzioni polinomiali vengono poi riprese nella voce  Strutture numeriche e non  e, nel triennio, nella voce  Numeri complessi,  in cui si affronta lo studio delle soluzioni "non reali" delle equazioni polinomiali.

    Nelle voci del dizionario non è dato molto peso alla storia della matematica relativa a quest'area della matematica. Il motivo è che essa affronta risvolti che non hanno una grande interazione con la collocazione e l'introduzione didattica che, da un paio di secoli, viene data al concetto di polinomio (la cosa è già stata discussa poco sopra). Qualche cenno a questo aspetto è sviluppato nell'ultimo paragrafo della voce Funzioni polinomiali. Qualche riflessione storica, come quella proposta da questa scheda o in fondo a questa, potrebbe eventualmente essere utile per riflettere sui grossi cambiamenti che la matematica ha avuto nelle ultime centinaia di anni.

    Esempi d'uso delle funzioni polinomiali ed esercizi "interni" sulle stesse, a vari livelli di difficoltà, sono presenti nella sezione esercizi.  Negli Oggetti Matematici sono presenti vari programmi che consentono di approfondire graficamente ed algebricamente lo studio delle funzioni e delle equazioni polinomiali.

    Tra gli esempi a cui puoi accedere dalla sezione percorsi e materiali puoi trovare un collegamento alle Schede di Lavoro e tra queste a quella, per la classe 2ª, dell'unità didattiche sulle Funzioni polinomiali.  Essa mette a disposizione molto materiale utilizzabile, direttamente o opportunamente rielaborato, per organizzare attività didattiche  (qui ne trovi una versione più "debole").

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