Il concetto di funzione
Le prime funzioni che i ragazzi incontrano esplicitamente sono, all'inizio della scuola elementare, le quattro operazioni (a due input) e gli incrementi e decrementi unitari e il cambio segno (ad un input). Ma alla scuola elementare incontrano anche funzioni con quantità qualunque di input, come il massimo e il minimo di un insieme di dati, e funzioni a cui non corrisponde un procedimento di calcolo (per esempio la altezza o il peso di una persona, o la popolazione di una città, al passare del tempo, o tariffari di vario genere, in cui il valore monetario è espresso in funzione di varie grandezze). Incontrano anche funzioni a più output (la divisone con resto, per esempio, è una funzione a due input e due output). Molte di queste funzioni sono eseguibili utilizzando i tasti funzione di una calcolatrice tascabile.
Del resto sono funzioni anche gli istogrammi a crocette, che possono essere affrontati anche prima della scuola elementare, nella scuola dell'infanzia: ad ogni modo di arrivare a scuola viene associato il numero (rappresentato da una colonna di di crocette) degli alunni che lo utilizza, ad ogni tipo di località delle vacanze viene associato il numero degli alunni che le ha passate in quel modo, ad ogni condizione del tempo viene associato il numero dei giorni del mese in cui il tempo è stato tale, …
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E, nel caso si usi un computer e del software, una function è un procedimento che ad uno o più input associa uno più output, di vario tipo, anche grafico: posso associare ad una sequenza di dati la loro somma o la sequenza ordinata degli stessi, ad una frase la sua lunghezza, ad un intervallo e una funzione reale di variabile reale il corrispondente grafico, ad una formula il suo valore di verità, ad una immagine l'immagine a colori "invertiti", …
È evidente che questi concetti hanno poco a che fare con le definizioni con cui essi vengono introdotti in molti libri di testo (e in molti siti internet): una funzione è un insieme di coppie ordinate tale che …; gli autori di tali libri hanno orecchiato definizioni come questa che si fanno nei corsi universitari di algebra, senza rendersi conto che per padroneggiarle occorre disporre delle tecniche, non semplici, per rappresentare una sequenza di input ed una sequenza di output con una opportuna coppia di oggetti matematici (ad esempio la funzione "somma", a 2 input ed 1 output, sarebbe un insieme di coppie ordinate il cui primo elemento è a sua volta una coppia ordinata). In molti libri (e siti) si trova anche che per definire una funzione occorre prima descriverne in modo preciso il dominio o, in alternativa, che è possibile determinare il dominio di ogni funzione reale di variabile reale. Ma non è possibile individuare il dominio di una qualunque funzione:
• sia F la funzione che ad x associa 1 se x è razionale e 0 altrimenti; della funzione che ad x associa 1 / (F(π+e) − x) non si può determinare il dominio poiché non si sa stabilire se π + e sia irrazionale o no;
• o, più semplicemente, se t(x) è un termine contenente la variabile x tale che non sia in grado di risolvere l'equazione
• per altro, non si può stabilire a priori (con un opportuno programma), presi comunque un programma P e una stringa di input v, se P con input v converge o P con input v diverge (la cosa è stata dimostrata da Turing nel 1936: vedi qui).
Ricordiamo che il nome "operazione" è un "appellativo" che viene usato per indicare alcune funzioni (vengono spesso chiamate così, ad esempio, le funzioni che ad una coppia di numeri associano la somma, il prodotto, il quoziente, il rapporto, la differenza, l'elevamento a potenza, le funzioni che ad una coppia di insiemi associano le loro unione o la loro intersezione, le funzioni che ad un numero associano il suo opposto o la sua radice quadrata o il suo fattoriale, le funzioni che ad un insieme finito di numeri associano il loro massimo o il loro minimo, le funzioni che ad una coppia di vettori associano la somma o il prodotto scalare, …), senza una definizione precisa.
In qualche manuale universitario di analisi matematica italiano si trova che una funzione è una regola che associa in modo univoco a un insieme di numeri reali altri numeri reali. Questa definizione è sbagliata: considerando "regole" essa può catturare solo una (piccola) "parte" delle funzioni, e, poi, toglierebbe il senso ad ogni applicazione del concetto di funzione per modellizzare situazioni reali. Per un esempio si pensi alle funzioni rappresentate graficamente qui sotto, che associano ai vari mesi dell'anno i millimetri di pioggia caduti durante essi, mediamente, tra il 1971 e il 2000, nelle città di Palermo, Genova, Milano e Bolzano. Quali sono le "regole" che le determinano?
È opportuno ricordare, per inciso, che, in genere, prima occorre avviare la costruzione del significato di un nuovo concetto matematico e poi porsi il problema di circoscriverlo con una definizione, al fine di rendere significativa (in ogni contesto) una qualunque proposizione matematica in cui esso compare. E che di alcuni concetti (come quello di "insieme") non si può affrontare una definizione se non in studi universitari avanzati, e che di altri (come quello di "probabilità") non si può fare altro che dare, sin dalle prime forme di istruzione, una descrizione che ne metta a fuoco le proprietà (descrizione che, verso la fine del percorso scolastico, potrà essere chiamata "assiomatica").
Le considerazioni sul concetto di fuzione qui affrontate non sono riflessioni didattiche che sono state messe a punto negli ultimi decenni.
Val la pena rammentare che le funzioni erano introdotte nella scuola scuola secondaria di 1° grado italiana da Emma Castelnuovo
subito dopo la seconda guerra mondiale e che ella in molti libri e articoli sosteneva che esse vanno introdotte sin dai primi
anni di scuola: "Si chiederà: quando trattare questo argomento? come introdurre il concetto di funzione? Sono forse troppo decisa
e rivoluzionaria se a questa domanda rispondo da sempre? Non è che intendo che a questo argomento
si debba dedicare un certo numero di lezioni, ma esso deve essere introdotto così, insensibilmente, a proposito di una questione
o dell'altra, perché esso entra in ogni questione." (vedi qui).
Chi ritiene che esso debba essere introdotto solo nella scuola superiore, magari neanche nel primo anno, è solo "ignorante" (di "matematica",
si intende).