I limiti - Considerazioni didattiche
Nella voce Limiti viene ripreso e sistemato il concetto di limite, già introdotto, più o meno informalmente, in varie voci precedenti : mettendo a punto un procedimento per calcolare la radice quadrata di un numero (Funzione 1) o la soluzione di un'equazione (Risoluz. di equazioni 1), riflettendo sui modi per esprimere numeri (I numeri) e per calcolarli (Strutture numeriche), ragionando su come determinare le posizioni che tendono ad assumere certi grafici (Proporzionalità inversa) e/o i valori di particolari grandezze geometriche (Lunghezza e Area), fino a considerare il caso del "limite" a cui tendono i valori statistici all'aumentare dei casi considerati (Calcolo delle probabilità).
Queste situazioni vengono richiamate all'inizio della voce, dopo una discussione sui vari significati della parola limite. Quindi viene introdotto e formalizzato, attraverso svariati esempi, il concetto di limite di una funzione, nei suoi diversi aspetti. Solo dopo, per la messa a punto e la dimostrazione di alcune proprietà, viene presentata una definizione del concetto stesso.
In questo contesto viene ripresa la definizione del concetto di continuità (funzione continua), viene affrontato lo studio del passaggio al limite di alcune operazioni, con la messa a fuoco di alcuni casi critici, lasciando falcoltativi alcuni approfondimenti (le parti con sfondo grigio). Per tutti sono invece proposti alcuni esempi che (come nel caso di molte altre aree matematiche) mettono in luce i limiti della nostra intuizione.
Questa voce degli Oggetti Matematici, per quanto si riferisca a molti aspetti già introdotti in precedenza, è densa di concetti ed attenzioni (su cui occorrerà ritornare anche in seguito): non è opportuno affrontarne i contenuti tutti in una volta, e potrebbe essere utile alternarne lo svolgimento con quello di altre voci (tra quelle immediatamente successive: Proiezioni tra superfici, Rappresentazioni cartografiche, Prospettiva, Il volume). L'argomento dei limiti verrà ripreso, dopo l'introduzione del calcolo differenziale, con la voce Infiniti e infinitesimi.
| Come accennato nella voce limiti (e come, del resto, si è già fatto nella voce intervallo), viene usato il simbolo ∞ senza il "+" davanti per indicare l'infinito positivo, accanto a −∞ per indicare quello negativo, così come si fa con i numeri (l'opposto di −3 è 3, non +3). Prova, ad esempio, a battere -infinity/(-1); infinity/(-1) in WolfrAmalpha. Solo in ambiti avanzati della matematica si introduce l'"infinito senza segno"; ad esempio in argomenti avanzati di analisi complessa (cerca "extended complex plane" in WolframAlpha) e di geometria proiettiva, in cui si considera la struttura raffigurata a lato (la retta proiettiva ottenuta aggiungendo alla retta dei numeri un unico punto ideale che la trasforma in una curva chiusa; evidentemente, non equivale alla retta ampliata, che si ottiene aggiungendo due distinti punti all'infinito, appunto ∞ e −∞; vedi: mathworld.wolfram.com). In alcuni libri di testo per le superiori si introduce il limite di f(x) per x che tende all'infinito senza segno: è meglio stendere un velo pietoso su quello che si trova scritto. In altri si ricorre al concetto di punto di accumulazione: vedi. | |
Il "taglio" di questa seconda parte degli Oggetti Matematici è per diversi aspetti più interno alla matematica (non più "isolato"), come già discusso nella guida alla parte sul Calcolo delle Probabilità.
Molti esempi, a vari livelli di difficoltà, sono presenti nella sezione esercizi (a partire dalla sezione 6 dell'argomento funzioni).
Tra gli esempi a cui puoi accedere dalla sezione
puoi trovare un collegamento alle Schede di Lavoro e tra queste a quella per la classe 3ª
su "Il concetto di limite". Essa mette a disposizione molto materiale sul tema,
utilizzabile, direttamente o opportunamente rielaborato, per organizzare attività didattiche.
Ricordiamo che il "matematico" (fisico, botanico, …) che diede i maggiori contributi nella messa a punto dei concetti di limite e di
continuitą, e di derivazione, fu il tedesco Weierstrass