Il concetto di numero reale - Considerazioni didattiche
La padronanza della rappresentazione decimale dei numeri dovrebbe essere uno degli obiettivi dell'insegnamento nella scuola media inferiore. È essenziale, all'inizio delle superiori,
impostare delle attività didattiche che consentano di verificare questa padronanza ed
eventualmente avviare delle attività che consentano di consolidarla.
In particolare l'interpretazione dei numeri come posizioni sulla retta graduata
deve diventare naturale e immediata da parte degli alunni: è uno tra i pochi automatismi (di elaborazione, associazione, passaggio da una rappresentazione a un'altra, ...) che tutti devono saper esercitare senza sforzi mnemonici o riflessivi (per liberare risorse mentali da dedicare ad aspetti pił concettuali): sono abilità/atteggiamenti che è opportuno consolidare/mantenere allenati continuamente.
Gli esercizi "più semplici" proposti alla fine della voce Rappresentazione
decimale dei numeri, e gli altri ivi indicati, possono dare delle idee al riguardo.
Fondamentale è anche consolidare il significato del posto di una cifra e mettere bene in luce come
la "posizione di riferimento" per la lettura di un numero non sia il punto (la virgola) decimale, ma la "cifra di posto 0"
(si veda la voce Potenze): probabilmente questa confusione è all'origine
delle difficoltà nella lettura/interpretazione dei numeri con cifre frazionarie che manifestano alcuni alunni.
Osserviamo, infine, che spesso si ha a che fare con numeri che rappresentano misure; occorre prestare attenzione
ai misconcetti che si possono creare rappresentando questi valori mediante variabili.
Un esempio: se uso s per indicare la posizione in chilometri lungo la strada in cui mi trovo dopo
t minuti, se dopo t0 minuti mi trovavo a 37 km dall'inizio della strada e
se v è la velocità costante in chilometri all'ora a cui
sto viaggiando, posso scrivere s = v·(t−t0)/60+37;
ma devo stare attento ad usare sempre le stesse unità. Se usassi le variabili per rappresentare le
grandezze, non le loro misure in opportune unità, dovrei scrivere:
s = v·(t−t0)+37 km.
Tra gli esempi a cui puoi accedere dalla sezione
puoi trovare le Schede di Lavoro e, tra queste, quelle (per la classe prima)
delle unità didattiche "La matematica e i suoi
modelli" e, soprattutto, "Le statistiche" (e le relative "guide"), che mettono a disposizione materiale utilizzabile, direttamente o
opportunamente rielaborato, per organizzare una attività didattica più organica, che consenta di
• esplorare e rivedere, assieme ad altre, abilità di base che dovrebbero essere padroneggiate alla fine
della media inferiore e, contemporaneamente, • introdurre nuovi metodi, argomenti e riflessioni che permettono
di coinvolgere e motivare anche alunni che quelle abilità già padroneggiano (senza isolare, quindi,
il "recupero" dai nuovi apprendimenti).
Rimandiamo alla voce Rappresentazione
decimale dei numeri anche
per sottolineare l'importanza di far riflettere gli alunni sulle ambiguità con cui, nel linguaggio verbale,
vengono espressi i numeri con "punto", ossia i numeri con "virgola" (questa attenzione al
confronto con il linguaggio comune è presente in tutti Gli Oggetti Matematici: vedi nell'indice alfabetico, la voce "ling. matem. e lin. comune" e i relativi link).
È opportuno far notare anche (ad es. osservando il
menu-opzioni di un computer o di un cellulare) le diverse
convenzioni ("," e ".") che, in ambito commerciale e nella vita quotidiana, si usano da una parte in Italia, dall'altra
nei Paesi Anglosassoni e nel mondo scientifico, per separare la parte intera da quella frazionaria.
In questa stessa voce sono proposte riflessioni anche sul concetto di ordine di grandezza e sul
calcolo mentale approssimato, con collegamenti stretti con quanto presentato nelle voci
Approssimazioni, Notazione esponenziale e Potenze-1.
Sulla linea dei numeri, ossia sull'utilità di interpretare i numeri come posizioni lungo una
retta, ci si sofferma anche alla voce Le 4 operazioni, in cui
viene anche proposta l'interpretazione dei numeri come spostamenti e approfondito il significato
dei numeri negativi (vedi le relative considerazioni didattiche).
La padronanza dei numeri decimali limitati, la capacità di utilizzare strumenti di misura graduati, …
sono fondamentali, in particolare, per avviare una sistemazione del concetto di numero reale, che inzialmente deve essere chiamato semplicemente "numero" (o numero illimitato),
rinviando a metà delle scuole superiori l'aggiunta dell'attributo reale per distinguerlo dai numeri complessi (vedi la voce Numeri).
Non è certamente un concetto difficile: già i babilonesi (circa 2 millenni a.C.) padroneggiavano
un sistema di scrittura posizionale, anche se con base sessanta
(vedi il link presente nella voce Rappresentazione
sessadecimale dei numeri): ad es. 1 24 51 10 (scritto usando
simboli diversi per le cifre) rappresentava il numero 1+24/60+51/60²+10/60³; sapevano calcolare
la radice quadrata di un numero con qualunque precisione (avevano l'idea che si poteva andare avanti
e che fermandosi ad un certo punto si otteneva una approssimazione, di cui sapevano valutare l'errore); …
I libri di testo della scuola italiana (quelli più diffusi) sono tornati indietro di vari millenni, e con
grossolani errori (vedi più avanti).
A questo riguardo riproduciamo un estratto dalla descrizione dell'impostazione degli Oggetti Matematici
(a cui puoi accedere dal link in fondo a questo documento), che illustra come tale sistemazione viene
realizzata negli Oggetti Matematici, alle voci Numeri e Strutture Numeriche:
———
Per l'introduzione dei numeri abbiamo scelto un
approccio costruttivista; in breve:
– numeri reali come opportune successioni di caratteri
(cifre, "." e "–"), con una opportuna
relazione di "eguaglianza" (3.7999…=3.8000…,
ecc.),
– definizione algoritmica delle operazioni sui numeri
decimali limitati,
– estensione di queste ai numeri reali mediante i concetti
di approssimazione e, senza formalizzazioni, di limite/funzione
continua (es.: per ottenere il risultato di x·y con una certa
precisione basta operare su intervalli di indeterminazione per x e
per y sufficientemente piccoli).
I numeri naturali, interi, periodici/razionali, decimali
limitati e limitati in altre basi vengono studiati come particolari
sottoinsiemi di R chiusi rispetto ad alcune operazioni.
Non si è ritenuto opportuno né, ovviamente,
introdurre i numeri reali per via assiomatica, né presentare
la costruzione dei vari insiemi numerici a partire da N:
– sarebbe dispendioso e difficile introdurre gli strumenti
algebrico-logico-insiemistici per effettuare "correttamente"
la costruzione (anche il solo passaggio) agli interi
– e, soprattutto, a questo livello, non se ne vedono
motivazioni "didattiche" (in un corso universitario di algebra la
costruzione di Q a partire da N può essere invece
un'occasione di applicazione di concetti come partizione, immersione,
…) o "culturali" (in un corso universitario sui fondamenti della
matematica può essere invece significativo costruire con
tecniche insiemistiche a partire dall'aritmetica di Peano un modello
per gli assiomi dei numeri reali).
L'introduzione dei numeri viene proposta intrecciata ad
argomenti di statistica, a riflessioni sull'uso dei mezzi
di calcolo, sui codici, …
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Nei libri di testo più diffusi si trovano gravi errori didattici e concettuali.
Basti pensare all'introduzione dei cosiddetti "numeri assoluti" (accoppiata a radicali
assoluti e altre amenità), all'introduzione di "+" davanti ai numeri positivi (tra cui non vengono
fatti rientrare i numeri naturali diversi da 0), …, che sono solo frutto di una grossolana
incomprensione della natura della matematica e dell'orecchiamento, frainteso,
di questioni relative ai fondamenti della matematica.
(vedi il seguente esercizio 2.14). Anche su molti manuali universitari
si trovano cose decisamente strane (vedi).
L'approccio scelto negli Oggetti Matematici, dal punto di vista "fondazionale",
ha evidenti collegamenti con la "aritmetizzazione" dei numeri reali proposta da Cantor (numeri reali e operazioni
tra essi come "completamento per continuità" della struttura dei numeri razionali), ma invero non
fa altro che presentare il modo in cui, da quando si è diffusa la notazione posizionale,
si scrivono e si opera sui numeri reali (Cantor non si proponeva di introdurre e definire la
struttura dei numeri reali, che era già nota, ma di caratterizzarla, per fini fondazionali, come estensione
di quella dei razionali, e di farlo con un procedimento che, rispetto a quello di Dedekind, fosse più
vicino alla pratica matematica).
Per approfondimenti sugli aspetti fondazionali (e le
motivazioni culturali dell'approccio da noi scelto), esamina questo documento:
I Numeri Reali
Nei libri di testo per le superiori spesso si trova una caricatura dell'approccio
di Dedekind: i numeri reali vengono introdotti come elementi di separazione
tra classi contigue di numeri razionali, senza rendersi conto che se i numeri reali
non li ho già non esiste alcun elemento se non nei casi in cui appartenga a una delle due classi, e sia quindi razionale; e senza porsi il problema
che, comunque, si dovrebbe trovare il modo di collegare (e in modo "corretto") questa "costruzione" all'usuale modo di scrivere i numeri.
Per gli errori e le imprecisioni
che in genere costellano queste "trattazioni"
le si confrontino con la traccia di uno sviluppo "alla Dedekind" corretto (e affrontabile solo a livello universitario) che può essere trovata nel documento
a cui si accede dal precedente link.
[impostazione complessiva altri commenti
wolfram]