La geometria - Considerazioni didattiche sulla prima parte
Nelle voci Lo spazio, Distanza, Vettori, Figure-1 e, poi, Trasformazioni geometriche e Figure-2 avviene la sistemazione dei primi concetti di geometria piana, con qualche primo collegamento alla geometria tridimensionale. Tra i due gruppi di temi sono presenti temi, discussi in un'altra parte delle guida, legati all'introduzione dei primi elementi di trigonometria.
Rinviamo alla discussione presente nella introduzione per illustrare l'impostazione scelta, tra le varie possibili (tra le quali era inevitabilmente esclusa una scelta assiomatica, come risulta chiaro anche da una specifica voce, per gli anni finali delle scuole superiori: Assiomi e loro modelli – ovvero basti pensare al buffo modo in cui viene inteso il concetto di ente primitivo, come ente che non si definisce invece che come ente definito implicitamente dagli assiomi [vedi]). Qui trovi una riflessione didattica che introduce alle scelte operate. Una discussione più approfondita dell'impostazione dell'insegnamento geometrico, con una rapida storia della geometria stessa (e vari esercizi per gli insegnanti), la trovi qui.
Aggiungiamo, solamente, l'importanza dell'intreccio con le altree aree della matematica attraverso cui possono essere introdotte le prime formalizzazioni dei concetti geometrici e i possibili collegamenti (da accennare o, nel caso di scuole in cui siano presenti altri insegnamenti scientifici nel biennio, da sviluppare) con argomenti di fisica e scientifici in generale.
Agli esempi di conflitto tra terminologia matematica e linguaggio comune
a cui occorre prestare attenzione (relativamente ai termini di angolo, direzione, distanza, curva, ...),
che sono accennati nelle "introduzione", e che sono ripresi negli Oggetti Matematici
(vedi),
ricordiamo quelli relativi ai singificati di "lunghezza" e "altezza".
In qualche manuale scolastico (ma anche in alcuni dizionari,
enciclopedie, …) vengono date definizioni univoche di lunghezza,
larghezza e altezza. In realtà si tratta di definizioni che
non fanno altro che creare confusioni concettuali e alimentare
fratture tra il linguaggio e il sapere per la "scuola" e
quelli per la "vita". Per un esempio, vedi questo esercizio.
Ricordiamo che
in "matematica" si può parlare propriamente solo
della lunghezza di un arco di curva (o, in particolare, di un
segmento). Il termine viene esteso agli oggetti che si sviluppano
prevalentemente in una dimensione e che per astrazione possono essere
rappresentati con un arco di curva (la lunghezza di una strada, di un
nastro, di un braccio, …). Nel linguaggio comune se
l'oggetto è usualmente disposto in modo che tale sviluppo sia
verticale (specie se l'oggetto è poggiato su una base) si
parla anche di altezza (altezza di una persona, di una bottiglia,
di un palo, …:), indipendentemente dalla collocazione che ha
l'oggetto nel momento in cui se ne parla. A volte con lunghezza si
intende invece la misura dell'estensione dell'oggetto lungo la
direzione secondo cui lo si sta guardando o lo si guarda abitualmente
(per lunghezza di una stanza, di un giardino, … spesso si intende
la lunghezza dei lati perpendicolari a quello su cui si apre la porta
di ingresso).
In matematica a volte si parla di
altezza di una figura piana (o solida) rispetto ad un suo lato (o ad
una sua faccia) per indicare la massima distanza che un punto della
figura può avere dalla retta su cui giace tale lato (o dal
piano su cui giace tale faccia): altezza di un triangolo rispetto ad
un lato fissato, di un parallelepipedo rispetto ad una particolare
faccia, …. Se vi è un solo punto che ha tale distanza
dal lato scelto, come nel caso dei triangoli, viene detto altezza
anche il segmento di minima lunghezza che congiunge il punto con la
retta di riferimento. Nel
linguaggio comune e nel linguaggio scientifico si usa l'espressione
altezza di un corpo celeste C rispetto ad un piano di riferimento P e
ad un punto di osservazione O (giacente su P) per indicare la misura
dell'angolo formato con il piano P dalla direzione OC con cui si
osserva il corpo. Abbiamo già richiamato altri usi nel linguaggio comune del termine
altezza.
Del termine larghezza non esiste
un uso propriamente matematico; nel linguaggio comune viene spesso
impiegato per indicare l'estensione lungo una direzione
perpendicolare a quella a cui è stato riferito il termine
lunghezza o il termine altezza, a seconda dei casi («è
più largo che lungo»; …). Naturalmente
considerazioni analoghe valgono anche per altri termini: corto,
basso, stretto, ….
Molti esempi, a vari livelli di difficoltà, sono presenti nella sezione esercizi (nelle sezioni: spazio a 1 e 2 dimensioni; trigonometria; vettori, matrici, algebra lineare).
Altri aspetti saranno discussi nella parte due (e nelle parti relativi alla prospettiva e ai volumi).