La geometria - Considerazioni didattiche sulla prima parte

Nelle voci Lo spazio, Distanza, Vettori, Figure-1 e, poi, Trasformazioni geometriche e Figure-2 avviene la sistemazione dei primi concetti di geometria piana, con qualche primo collegamento alla geometria tridimensionale. Tra i due gruppi di temi sono presenti temi, discussi in un'altra parte delle guida, legati all'introduzione dei primi elementi di trigonometria.

Rinviamo alla discussione presente nella introduzione per illustrare l'impostazione scelta, tra le varie possibili  (tra le quali era inevitabilmente esclusa una scelta assiomatica, come risulta chiaro anche da due specifiche voci, per gli anni finali delle scuole superiori:  Definzioni e dimostrazioni e Assiomi e loro modelli – ovvero basti pensare al buffo modo in cui viene inteso il concetto di ente primitivo, come ente che non si definisce invece che come ente definito implicitamente dagli assiomi [vedi].

Qui trovi una riflessione didattica che introduce alle scelte operate.  Una discussione più approfondita dell'impostazione dell'insegnamento geometrico, con una rapida storia della geometria stessa (e vari esercizi per gli insegnanti), la trovi qui  (una sintesi è implicitamente presente in questi due esercizi).

Per una riflessione sintetica su assiomi, dimostrazioni, simbolismo e storia della matematica rinviamo al seguente brano tratto da Vinicio Villani, Cominciamo da Zero.

Facciamo solo due rapide osservazioni.  I poligoni vengono definiti come unioni di triangoli, in modo da comprendere anche i poligoni con concavità e i poligoni "intrecciati", e in modo da evitare questioni, non banali, connesse alla suddivisone del piano da parte di linee chiuse (vedi).  Osserviamo, inoltre, che, come accade in tutto il mondo  (nei dizionari comuni e in quelli scientifici, e nei buoni manuali universitari, su cui gli insegnanti hanno studiato nella loro "parentesi" universitaria), eccetto che nelle ore di matematica della scuola italiana e che in qualche dizionario italiano, con "cerchio",  così come con "poligono", si intende, a seconda dei casi, sia la parte interna che il bordo  (ad es. con "cerchio massimo" o con "cerchione" ci si riferisce solo al "bordo"),  e che con "circonferenza" si intende la lunghezza del contorno del cerchio, o di figure simili  (così come si fa normalmente in italiano, ed anche nelle materie scientifiche, ad es. quando si parla di "circonferenza terrestre" o di "circonferenza vita"), analogamente al fatto che con "perimetro" si intende la lunghezza del contorno di un poligono (o di una figura che ha pezzi del contorno curvilinei: la circonfernza è un caso particolare di perimetro; del resto "π", usato per valutare la circonfenerza, deriva da "perimetro").

Aggiungiamo, solamente, l'importanza dell'intreccio con le altree aree della matematica attraverso cui possono essere introdotte le prime formalizzazioni dei concetti geometrici e i possibili collegamenti (da accennare o, nel caso di scuole in cui siano presenti altri insegnamenti scientifici nel biennio, da sviluppare) con argomenti di fisica e scientifici in generale.

Agli esempi di conflitto tra terminologia matematica e linguaggio comune a cui occorre prestare attenzione (relativamente ai termini di angolo, direzione, distanza, curva, ...), che sono accennati nelle "introduzione", e che sono ripresi negli Oggetti Matematici (vedi), ricordiamo quelli relativi ai singificati di "lunghezza" e "altezza". In qualche manuale scolastico (ma anche in alcuni dizionari, enciclopedie, …) vengono date definizioni univoche di lunghezza, larghezza e altezza. In realtà si tratta di definizioni che non fanno altro che creare confusioni concettuali e alimentare fratture tra il linguaggio e il sapere per la "scuola" e quelli per la "vita". Per un esempio, vedi questo esercizio.
   Ricordiamo che in "matematica" si può parlare propriamente solo della lunghezza di un arco di curva (o, in particolare, di un segmento). Il termine viene esteso agli oggetti che si sviluppano prevalentemente in una dimensione e che per astrazione possono essere rappresentati con un arco di curva (la lunghezza di una strada, di un nastro, di un braccio, …).  Nel linguaggio comune se l'oggetto è usualmente disposto in modo che tale sviluppo sia verticale (specie se l'oggetto è poggiato su una base) si parla anche di altezza (altezza di una persona, di una bottiglia, di un palo, …:), indipendentemente dalla collocazione che ha l'oggetto nel momento in cui se ne parla. A volte con lunghezza si intende invece la misura dell'estensione dell'oggetto lungo la direzione secondo cui lo si sta guardando o lo si guarda abitualmente (per lunghezza di una stanza, di un giardino, … spesso si intende la lunghezza dei lati perpendicolari a quello su cui si apre la porta di ingresso).
   In matematica a volte si parla di altezza di una figura piana (o solida) rispetto ad un suo lato (o ad una sua faccia) per indicare la massima distanza che un punto della figura può avere dalla retta su cui giace tale lato (o dal piano su cui giace tale faccia): altezza di un triangolo rispetto ad un lato fissato, di un parallelepipedo rispetto ad una particolare faccia, …. Se vi è un solo punto che ha tale distanza dal lato scelto, come nel caso dei triangoli, viene detto altezza anche il segmento di minima lunghezza che congiunge il punto con la retta di riferimento.  Nel linguaggio comune e nel linguaggio scientifico si usa l'espressione altezza di un corpo celeste C rispetto ad un piano di riferimento P e ad un punto di osservazione O (giacente su P) per indicare la misura dell'angolo formato con il piano P dalla direzione OC con cui si osserva il corpo. Abbiamo già richiamato altri usi nel linguaggio comune del termine altezza.
   Del termine larghezza non esiste un uso propriamente matematico; nel linguaggio comune viene spesso impiegato per indicare l'estensione lungo una direzione perpendicolare a quella a cui è stato riferito il termine lunghezza o il termine altezza, a seconda dei casi («è più largo che lungo»; …).  Naturalmente considerazioni analoghe valgono anche per altri termini: corto, basso, stretto, ….

In schede di lavoro ed in esercizi si fa riferimento anche al software di geometria dinamica. Si possono consultare i seguenti materiali e informazioni sulla sua precorritrice, Emma Castelnuovo.

Molti esempi, a vari livelli di difficoltà, sono presenti nella sezione esercizi  (nelle sezioni:  spazio a 1 e 2 dimensionitrigonometriavettori, matrici, algebra lineare).

Altri aspetti sono descritti nelle voci Calcolatore-4 (la digitalizzazione delle immagini) e Calcolatore-5 (come realizzare grafici e immagini al computer, e come trasformarle).

Altri aspetti saranno discussi nella parte due relativa al tema "geometria" (e nelle parti relative alla prospettiva e ai volumi), oltre che in relazione all'avvio del concetto di derivazione.

Ricordiamo che alla fine della voce spazio viene sottolineata l'opportunità di indicare con A = (3, 8), e non con A(3, 8), il fatto che il punto A abbia coordinate 3 ed 8. Oltre alle osservazioni ivi fatte, si veda anche WolframAlpha.

    Tra gli esempi a cui puoi accedere dalla sezione percorsi e materiali puoi trovare un collegamento alle Schede di Lavoro e tra queste a quelle, per le classi 1ª e 2ª, delle unità didattiche "Per strada" e "Matematica e lo spazio", e, per le classi successive, di unità didattiche su temi specificamente geometrici. Esse mettono a disposizione molto materiale utilizzabile, direttamente o opportunamente rielaborato, per organizzare attività didattiche.

[impostazione complessiva     altri commenti     wolfram]