Se la fabbrica di tappi del quesito precedente pratica il prezzo di 40 centesimi di euro il tappo, che cosa posso dire del suo ricavo totale R_T, del suo guadagno totale G_T e del suo guadagno unitario G_U al variare del numero n dei tappi che produce e vende (nell'ipotesi che venda tutti i tappi prodotti)? Per quale volume di produzione/vendita la fabbrica incomincia ad avere un utile positivo? Come sono i grafici, al variare di n, di R_T, G_T e G_U?

R_T = 0.4·n,  C_T = 50·10³ + 0.1·n,  G_T = R_T − C_T = 0.4·n − 50·10³ − 0.1·n = 0.3·n − 50·10³
(per n = 0 R_T = 0, C_T = 50·10³, G_T = −50·10³, per n = 400·10³ R_T = 160·10³, C_T = 90·10³, G_T = 70·10³)

R_U = 0.4,  C_U = 50·10³/n + 0.1,  G_U = R_U − C_U = 0.3 − 50·10³/n

Dai grafici si ricava che il guadagno (sia quello totale che quello unitario!) è nullo circa per n = 165·10³. Posso ricavare con più precisione n algebricamente:
0.3·n − 50·10³ = 0 quando 0.3·n = 50·10³, ossia quando n = (50·10³)/0.3 = 166.666…·10³, ossia appena n supera 166 666.
In reltà, essendo i dati inevitabilmente approssimati, possiamo dire che la azienda incomincia ad avere dei profitti quando produce e vende vale almeno circa 167 mila tappi.

Si noti che l'incidenza dei costi fissi, al crescere della produzione, tende a ridursi. In una situazione ideale, in cui n possa crescere oltre ogni limite, e in cui i costi fissi restino invariari, GU = 0.3 − 50·103/n → 0.3. Si noti, inoltre, che, nonostante l'apparenza dei grafici precedenti, GU e CU non si mantengono uno sotto all'altro: per n → ∞ il primo tende a 0.3 mentre il secondo tende a 0.1 (si incrociano quando GU=CU, ossia per 104 = 0.2n, cioè per n = 500 000).     Per altri commenti: proporzionalità inversa neGli Oggetti Matematici.

I grafici soprastanti sono stati realizzati in JavaScript:   RT, CT, GT,   RU, CU, GU.

I grafici sono facilmente realizzabili anche con WolframAlpha (scegliendo "Image Size Medium" otterrei dimensioni maggiori):

plot y = 50*10^3 + 0.1*x, y = 0.3*x-50*10^3, y=0.4*x, 0 < x < 4e5, -50e3 < y < 160e3
plot y = 50*10^3/x + 0.1, y = 0.3-50*10^3/x, y=0.4, 0 < x < 4e5, -1 < y < 2

Posso realizzarli anche con R; vedi sotto.

source("http;//macosa.dima.unige.it/r.R")          # vedi qui
RT = function(n) 0.4*n; CT = function(n) 50e3+0.1*n
GT = function(n) RT(n)-CT(n)
RT(400e3)
# 160000
GT(0)
# -50000
BF=6; HF=4
Plane(0,400e3, -50e3,160e3); graph2(CT,0,415e3, "brown")
graph2(RT,0,415e3, "brown"); graph2(GT,0,415e3, "brown")
abovex("n")
aboveY("GT",GT(400e3)); aboveY("CT",CT(400e3)); aboveY("RT",RT(400e3))
x = solution(GT,0, 1e5,4e5); x
# 166666.7
POINT(x,0, "red"); POINT(x,CT(x), "red")
text(167e3,-1e4,"1.67e5")
#
RU = function(n) 0.4; CU = function(n) CT(n)/n; GU = function(n) GT(n)/n
Plane(0,400e3, -1,2); graph2(CU,0,415e3, "brown")
abovex("n")
graph2(RU,0,415e3, "brown"); graph2(GU,0,415e3, "brown")
POINT(x,0, "red"); POINT(x,CU(x), "red")
text(167e3,-0.1,"1.67e5")
text(0.5e5,1.6,"CU"); text(0.7e5,-0.7,"GU"); text(0.5e5,0.3,"RU")
#
BF=2.8; HF=1.8
Plane(0,600e3, -1/2,1/2); graph1(CU,0,610e3, "brown")
graph1(GU,0,610e3, "brown")
solution2(GU,CU,1e5,6e5)
# 5e+05
Point(5e5,GU(5e5),"red")