Le figure seguenti illustrano successivi ingrandimenti dell'estremità di un'asta (lunga circa 3 m) sottoposta a una misurazione di lunghezza mediante nastri misuratori man mano più sensibili.

(1)  Qual è la migliore misura della lunghezza dell'asta che si può ottenere? Si motivi la risposta. (2)  Quali considerazioni sulla natura astratta dei numeri reali come modelli delle misure di grandezze fisiche può suggerire questa sequenza di figure?

(1) L'asta, come si capisce dalla figura D, ha l'estremità destra che ha come tacca dei millimetri più vicina quella che corrisponde a 2.709 m; volendo potremmo considerare le tacche dei mezzi millimetri e osservare che quella più vicina è quella che corrisponde a 2.7805 m, ovvero che l'asta ha lunghezza compresa tra 2.70825 m e 2.70875 m. Possiamo esprimere la sua misura in vari modi, con delle disequazioni, come abbiamo appena fatto, o, ad es., così:
•  2.709 m, intendendo che si tratta di un arrotondamento ai millimetri (ossia che la precisione è 0.0005 m);
•  2.7085 ± 0.00025 m; dobbiamo aggiungere la specificazione della precisione, altrimenti sarebbe da sottointendere che essa è 0.00005, ossia che la misura è compresa tra 2.70845 m e 2.70855 m, il che non è vero: tra questi due valori non rientrerebbero le protuberanze e le rientranze che presenta l'estremità dell'asta; per l'altro anche l'altra estremità dell'asta, che è stata allineata con lo 0 del nastro misuratore, non è perfettamente liscia e ciò comporta un ulteriore contributo di indeterminazione alla misura.
Date le caratteristiche dell'oggetto che stiamo misurando, non ha senso pretendere di ottenere (eventualmente con strumenti più sensibili) misure più precise.
(2) I numeri reali costituiscono un modello astratto della misura delle grandezze fisiche: con una misurazione non è possibile determinare con infinite cifre il valore di una grandezza, e in molti casi non ha senso ipotizzare che si possa ulteriormente migliorare la precisione di una misura. Supporre che le misure fisiche corrispondano a numeri reali e rappresentarle e operare su di esse come se fossero numeri reali semplifica l'enunciazione di leggi fisiche o la modellizzazione di situazioni reali. Comunque, nei casi pratici, per determinare il valore di una grandezza che corrisponde alla soluzione di un dato problema, dovremo tenere conto di queste astrazioni e sostituire calcoli approssimati ai calcoli con numeri esatti.
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