In un esperimento a scuola si vuole misurare l'accelerazione di gravità g e, a questo scopo, si lascia cadere un peso dal quarto piano, da un'altezza di 14.1±0.1 m, e si trova che esso impiega per arrivare a terra 1.6±0.1 s. Qual è il valore di g che si ottiene? Per migliorare la misura di g mi conviene cercare di misurare con più precisione l'altezza da cui rilascio il peso o il tempo di caduta?
Sappiamo che l'altezza h è legata al tempo t dalla relazione
Per valutare di quale grandezza conviene migliorare
la precisione possiamo procedere per tentativi, a mano, con la
calcolatrice o usando questo
script, e trovare che (legenda della prima riga:
se x varia tra 0.9 e 1.1 - quindi con indeterminazione di 0.2 - ed y varia tra 2 e 2, x^y varia tra 0.81 e 1.21,
con variazione di 0.4):
0.9 1.1 ^ 2 2 | = 0.81 1.21 | | 0.40 |
0.99 1.01 ^ 2 2 | = 0.9801 1.0201 | | 0.040 |
Quindi elevando alla 2 la precisione relativa circa raddoppia | ||
0.9 1.1 / 0.9 1.1 | = 0.818181... 1.222222... | | 0.404040... |
Se divido due numeri con indeterminazione 0.2 l'indeterminazione circa si somma | ||
0.99 1.01 / 0.9 1.1 | = 0. 90 1.122222... | | 0.222222... |
Se divido due numeri con indeterminazione 0.02 e 0.2 l'indeterminazione circa si somma | ||
0.99 1.01 / 0.99 1.01 | = 0.98019801... 1.020202... | | 0.040004000... |
Se divido due numeri con indeterminazione 0.02 l'indeterminazione circa si somma | ||
Quindi dividendo la precisione relativa è circa la somma di quella dei divisori |
Abbiamo tratto delle conclusioni generali, ma avremmo potuto ragionare direttamente sui numeri dell'esercizio. In conlcusione la precisone relativa del nostro valore è, circa, pari alla somma di quella di h e del doppio di quella di t; al momento la precisione relativa di h è 1/141 = 0.7% mentre quella di t è 1/16 = 6.25%, quindi l'unico modo per migliorare la mia valutazione di g consiste nel migliorare la precisione con cui rilevare t.
In modo analogo potremmo verificare che moltiplicando due grandezze la precisione relativa del prodotto è grosso pari alla somma di quelle delle due grandezze:
0.9 1.1 * 0.9 1.1 | = 0.81 1.21 | | 0.40 |
0.99 1.01 * 0.9 1.1 | = 0. 891 1.111 | | 0.22 |
Se moltiplico due numeri con indeterminazione 0.02 e 0.2 l'indeterminazione circa si somma | ||
Anche moltiplicando la precisione relativa è circa la somma di quella dei fattori |
Per altri commenti: calcolo approssimato neGli Oggetti Matematici.