In un esperimento a scuola si vuole misurare l'accelerazione di gravità g e, a questo scopo, si lascia cadere un peso dal quarto piano, da un'altezza di 14.1±0.1 m, e si trova che esso impiega per arrivare a terra 1.6±0.1 s. Qual è il valore di g che si ottiene? Per migliorare la misura di g mi conviene cercare di misurare con più precisione l'altezza da cui rilascio il peso o il tempo di caduta?

Sappiamo che l'altezza h è legata al tempo t dalla relazione h = g t2/2, da cui g = 2h/t2 e, quindi, 2·14.0/1.72 m/s2 ≤ g ≤ 2·14.2/1.52 m/s2, ossia 9.68858...m/s2 ≤ g ≤ 12.62222...m/s2. Possiamo prendere [9.7, 12.6] come intervallo di indeterminazione della misura di g in m/s2.

Per valutare di quale grandezza conviene migliorare la precisione possiamo procedere per tentativi, a mano, con la calcolatrice o usando questo script, e trovare che (legenda della prima riga: se x varia tra 0.9 e 1.1 - quindi con indeterminazione di 0.2 - ed y varia tra 2 e 2, x^y varia tra 0.81 e 1.21, con variazione di 0.4):
0.9  1.1  ^  2  2= 0.81   1.21| 0.40
0.99  1.01  ^  2  2= 0.9801  1.0201| 0.040
Quindi elevando alla 2 la precisione relativa circa raddoppia
0.9  1.1  /  0.9  1.1= 0.818181...  1.222222...| 0.404040...
Se divido due numeri con indeterminazione 0.2 l'indeterminazione circa si somma
0.99  1.01  /  0.9  1.1= 0. 90  1.122222... | 0.222222...
Se divido due numeri con indeterminazione 0.02 e 0.2 l'indeterminazione circa si somma
0.99  1.01  /  0.99  1.01 = 0.98019801...  1.020202... | 0.040004000...
Se divido due numeri con indeterminazione 0.02 l'indeterminazione circa si somma
Quindi dividendo la precisione relativa è circa la somma di quella dei divisori

Abbiamo tratto delle conclusioni generali, ma avremmo potuto ragionare direttamente sui numeri dell'esercizio. In conlcusione la precisone relativa del nostro valore è, circa, pari alla somma di quella di h e del doppio di quella di t; al momento la precisione relativa di h è 1/141 = 0.7% mentre quella di t è 1/16 = 6.25%, quindi l'unico modo per migliorare la mia valutazione di g consiste nel migliorare la precisione con cui rilevare t.

In modo analogo potremmo verificare che moltiplicando due grandezze la precisione relativa del prodotto è grosso pari alla somma di quelle delle due grandezze:
0.9  1.1  *  0.9  1.1= 0.81  1.21| 0.40
0.99  1.01  *  0.9  1.1= 0. 891  1.111 | 0.22
Se moltiplico due numeri con indeterminazione 0.02 e 0.2 l'indeterminazione circa si somma
Anche moltiplicando la precisione relativa è circa la somma di quella dei fattori

  Per altri commenti: calcolo approssimato neGli Oggetti Matematici.