Una scatola senza coperchio è realizzata da un pezzo rettangolare di lamiera rimuovendone quattro quadrati uguali dagli angoli e ripiegandolo opportunamente lungo i quattro segmenti paralleli ai lati e aventi per estremi i veritici degli angoli rimossi.  Sappiamo che il rettangolo originale ha dimensioni di 15 cm e 21 cm;  le dimensioni sono misurate con grande precisione, ossia con errore trascurabile.
(a)  Traccia, nel suo dominio, il grafico del volume della scatola in funzione della lunghezza del lato dei quadrati rimossi.
(b)  Determina il volume della scatola nel caso in cui il lato del quadrato rimosso misuri 2.9 cm con la precisione di 2 mm, ossia sia compreso tra 2.9 cm − 2 mm e 2.9 cm + 2 mm  (approssima il volume con un intervallo avente per estremi misure a 4 cifre).

Vedi anche qui.

Indichiamo con V(x) il volume della scatola ottenuta tagliando quadrati di lato x. Tracciamo il grafico di V.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") V = function(x) (15-2*x)*(21-2*x)*x graph1F(V,0,9, "brown") POINT(2.9-0.2,V(2.9-0.2),"blue") POINT(2.9+0.2,V(2.9+0.2),"blue") graph1F(V,2.5,3.5,"brown") POINT(2.9-0.2,V(2.9-0.2),"blue") POINT(2.9+0.2,V(2.9+0.2),"blue") # Quando V è massimo e quanto vale: maxmin(V,2,4); V(maxmin(V,2,4)) # 2.877501 405.5549 V(2.9-0.2); V(2.9+0.2) # 404.352 403.744 # Ovvero: x = 2.9+EPS(0.2) range( (15-2*x)*(21-2*x)*x ) # 403.7440 405.5549

Volume compreso tra 403.7 cm³ e 405.6 cm³.

Il volume massimo della scatola posso trovarlo facilmente anche con questo semplice script online:

Come posso procedere senza i programmi precedenti.  D(F)(x) = 12x²-144x+315, D(F)(x)=0 se x = 6+√39/2 o se x = 6−√39/2.  A noi interessa il valore di x compreso nel dominio relativo al nostro problema: 0 < x < 15/2, ossia 6−√39/2 (=2.877...).  Qui F assume valore massimo (per il nostro dominio) e vale 405.5549 (valore approssimato).  In 2.9-0.2 F vale 404.352, in 2.9+0.2 vale 403.744. Quindi l'intervallo cercato è (403.744, 405.5549), ossia, limitandosi ad approssimazioni a 4 cifre, [403.7, 405.6].