Un torneo di tennis ha 80 iscritti. In ogni incontro il perdente viene eliminato dal torneo. Vince il giocatore che sopravvive. Quanti incontri vengono disputati in tutto?  Affronta il problema nel modo che ti sembra più conveniente (ragiona prima di metterti a scrivere formule e a fare calcoli).

In 40 incontri giocano 80 persone e ne rimangono in gioco 40.
In 20 incontri giocano queste 40 persone e ne rimangono in gioco 20.
In 10 incontri giocano queste 20 persone e ne rimangono in gioco 10.
In 5 incontri giocano queste 10 persone e ne rimangono in gioco 5.
In 2 incontri giocano 4 persone e ne sopravvivono 2, oltre a quella che non ha giocato.
In 1 incontro giocano 2 persone e ne sopravvive 1, oltre a quella che non ha giocato.
In 1 incontro giocano le 2 persone avanzate; la vincente vince anche il torneo.
In tutto si disputano 40+20+10+5+2+1+1 = 79 incontri.
Ragionamento alternativo: 2⁶ = 64, 2⁷ = 128. In 2+4+8+16+32 partite da 64 squadre mi riduco a 1 sola.
80−64 = 16. In 2+4+8 partite da 16 squadre mi riduco a 1 sola.
In un altro incontro ho la vincitrice.
In tutto gli incontri sono (2+4+8+16+32)+(2+4+8)+1 = (32·2-1)+(8·2-1)+1 = 64+16-2+1 = 79.
In ogni caso 79 è il numero di incontri che deve essere disputato, e potrei arrivare a questa conclusione in modo molto semplice: se ad ogni incontro si perde un concorrente, gli incontri devono essere 79.
I modi illustrati sopra sono abbastanza equi, e comportano la possibilità di fare più incontri contemporaneamente o vicini nel tempo. Disputando lo stesso numero di incontri si potrebbero disputare tornei meno equi (e di durata maggiore). Ad esempio si potrebbero mettere in un qualche ordine (alfabetico o sorteggiato) i giocatori e si potrebbe fare un incontro, poi fare quello tra il vincitore di questo e il successivo giocatore, e così via. Il primo giocatore per vincere dovrebbe disputare tutti e 79 gli incontri!

  Per altri "ragionamenti" simili: calcolo combinatorio neGli Oggetti Matematici.