Una società sportiva vuole organizzare un torneo provinciale di pallavolo rivolto alle squadre delle scuole superiori. Deve decidere se scegliere un torneo a "eliminazione diretta" o un torneo "a classifica" (ogni squadra sostiene un incontro con ciascuna delle altre squadre e sulla base degli esiti degli incontri, dei punteggi, … viene stabilita una graduatoria senza ex aequo). Per fare ciò vuole sapere come il numero S delle squadre che possono essere ammesse dipende dal numero g delle "giornate" di durata del torneo (in una giornata vengono disputati contemporaneamente più incontri, ma ogni squadra disputa al più una partita).
    Stabilite come S varia in funzione di g nei due tipi di torneo e tracciate (fino a g = 5) i grafici delle due funzioni così individuate.

Se c'è una sola squadra possiamo dire che è lei automaticamente a vincere il torneo: se g = 0 (in 0 giornate) S = 1, comunque si realizzi il torneo. In una giornata (g = 1) in entrambi i casi S = 2: delle due squadre una vince.

    Nel caso del torneo ad eliminazione diretta se g = 2 le squadre possono essere 4 (nelle due partite iniziali vengono eliminate 2 squadre, delle quali una vince nell'incontro che disputa tra esse nel secondo giorno). Se g = 3 nell'ulitmo giorno le squadre che si incontrano devono comunque essere due, e possono venire dallo scontro con altre due squadre nel penultino giorno; queste 4 squadre possono essere le vincitrici di 4 incontri disputati con altre 4 squadre nella prima giornata: in tutto le squadre erano 8. In generale, in g giornate può svolgersi un torneo ad eliminazione diretta tra 2^g squadre.

Nel caso del torneo a classifica per g = 2 il torneo non può realizzarsi: gli incontri sono più di 1 se vi sono almeno tre squadre, ma se le squadre sono tre sono necessari almeno 3 giornate affinché ogni squadra incontri le altre due e non disputi più di un incontro nello stesso giorno. Per g = 3 invece le squadre possono essere 4 (se A, B, C e D sono le squadre, gli scontri possono essere AB e CD, poi AC e BD, e, nel terzo giorno, AD e BC). Per g = 4 non posso realizzare tornei (se le squadre sono 5 ci vogliono almeno 4 giornate perché una squadra incontri le altre, ma, essendo 5 dispari, in una giornata ci deve essere almeno una squadra che non gioca). Per g = 5 posso realizzare un torneo di 6 squadre (gli scontri possono essere AB, CD, EF, poi AC, DE, BF, poi AD, BE, CF, poi AE, BC, DF, poi AF, BD, CE). In generale, in g giornate, se g è dispari, posso realizzare un torneo a classifica tra g+1 squadre. Per altri commenti: calcolo combinatorio neGli Oggetti Matematici.

Il grafico è stato tracciato col software online WolframAlpha coi comandi:

plot {(5;6), (3;4), (0;2^0), (1;2^1), (2;2^2), (3;2^3), (4;2^4),(5;2^5)}