Studia sperimentalmente se per K pari a 7, ad 11 e a 13 vale che, per ogni n intero positivo, Kn−1 è divisibile per 6, e, nei casi affermativi, prova a dimostrare la proprietà per induzione.

Lo studio sperimentale è facile; basta calcolare con un qualunque programma se (K^x-1)/6 è intero o no. Ecco come farlo, ad es., con R:

f<- function(x) (7^x-1)/6; g<- function(x) (11^x-1)/6; h<- function(x) (13^x-1)/6
for (i in 1:10) print(c(i, f(i), g(i), h(i)))
[1]  1        1        1.666667   2
[1]  2        8        20         28
[1]  3        57       221.6667   366
[1]  4        400      2440       4760
[1]  5        2801     26841.67   61882
[1]  6        19608    295260     804468
[1]  7        137257   3247862    10458086
[1]  8        960800   35726480   135955120
[1]  9        6725601  392991282  1767416562
[1]  10       47079208 4322904100 22976415308
Potremmo usare più facilmente questa semplice calcolatrice online, introducendo man mano in M 1, 2, 3, ...: 
(pow(7,6) - 1) / 6 = 19608  (4 before units)
(pow(7,5) - 1) / 6 = 2801  (3 before units)
(pow(7,4) - 1) / 6 = 400  (3 before units)
(pow(7,3) - 1) / 6 = 57  (2 before units)
(pow(7,2) - 1) / 6 = 8  (1 before units)
(pow(7,1) - 1) / 6 = 1  (0 after units) 
È immediato concludere che per K = 11 la relazione non vale e fare la congettura che essa valga per K = 7 e K = 13. Dimostriamo la cosa per induzione.
(1)  71−1 = 6, che è evidentemente divisibile per 6
(2)  suppongo che 7n−1 sia divisibile per 6, ossia esita q tale che 7n−1 = q·6
7n+1−1 = 7·7n−1 = 7·(q·6+1)−1 = 7·q·6+7−1 = 7·q·6+6 = (7·q+1)·6
Posso dedurre che anche 7n+1−1 è divisibile per 6.
Dunque per induzione per ogni n intero positivo, 7n−1 è divisibile per 6.
(1)  131−1 = 12, che è evidentemente divisibile per 6
(2)  suppongo che 13n−1 sia divisibile per 6, ossia esita q tale che 13n−1 = q·6
13n+1−1 = 13·13n−1 = 13·(q·6+1)−1 = 13·q·6+13−1 = 13·q·6+12 = 13·q·6+2·6 = (13·q+2)·6
Posso dedurre che anche 13n+1−1 è divisibile per 6.
Dunque per induzione per ogni n intero positivo, 13n−1 è divisibile per 6.

    Per altri commenti: successioni neGli Oggetti Matematici.