Considera le successioni così definite:

x(0) = A, x(n+1) = √x(n) y(0) = 1, y(n+1) = (y(n) + A/y(n)) / 2

Usando una calcolatrice, calcola un po' di elementi delle successioni che si ottengono assegnando ad A i valori seguenti: 4, 2, 100, 0.25. Che cosa puoi congetturare dalle uscite che ottieni?

x) Battendo: 4 ... si può man mano ottenere:
2 - 1.414213562 - 1.189207115 - 1.090507733 - 1.044273782 - 1.021897149 - 1.010889286 - ... - 1.000000661 - 1.00000033 - 1.000000165 - ... - 1.000000006 - 1.000000003 - 1.000000002 - 1.000000001 - 1.000000001 - ...
Battendo: 0.25 ... si può man mano ottenere:
0.5 - 0.7071067812 - 0.8408964153 - ... - 0.9996616065 - 0.9998307889 - ... - 0.9999999994 - 0.9999999997 - 0.9999999999 - 1 - 1 - ...

In alternativa posso usare direttamente questa piccola calcolatrice online ottenendo esiti come quelli raffigurati sotto a sinistra:

Ancora più facile è utilizzare questa calcolatrice:

sqrt(1.0000000000000002) = 1  (0 after units) 
sqrt(1.0000000000000004) = 1.0000000000000002  (0 before units)
sqrt(1.000000000000001) = 1.0000000000000004  (0 before units)
 ...
sqrt(1.189207115002721) = 1.0905077326652577  (0 before units)
sqrt(1.4142135623730951) = 1.189207115002721  (0 before units)
sqrt(2) = 1.4142135623730951  (0 before units)
sqrt(4) = 2  (0 before units)
sqrt(B)

La CT si stabilizza in tutti i casi su 1 o, per le approssimazioni effettuate dalla CT, su un numero arrotondabile (con una cifra significativa in meno rispetto a quelle della CT) a 1. Possiamo congetturare che, qualunque sia A, positivo, x(.) sia una successione di valori che tende a stabilizzarsi su 1.

y) Nel secono caso posso procedere con la stessa calcolatrice online (metto in input "/1+4/1)/2" e ottengo 2.5, modifico l'input mettendo 2.5 al posto d1 e ottengo 2.05, … - vedi la figura precedente, a destra) o una usuale CT:

Battendo:
1
4 2
4 2
4 2
...
si può man mano ottenere:
2.5 - 2.05 - 2.000609756 - 2.000000093 - 2 - 2 - ...
Battendo:
1
.25 .25
.25 .25
...
si può man mano ottenere:
0.625 - 0.5125 - 0.500152439 - 0.5000000235 - 0.5 - 0.5 - ...

La CT si stabilizza in tutti i casi sull'arrotondamento della radice quadrata (eventualmente con una cifra significativa in meno rispetto a quelle della CT). Possiamo congetturare che, qualunque sia A, positivo, y(.) sia una successione di valori che tende a stabilizzarsi su √A, ovvero descriva un algoritmo per ottenerne approssimazioni con precisione buona quanto si vuole.

Si possono generare le successioni facilmente anche con un semplice script (vedi).

Ovvero con questa calcolatrice:

(2.000000000000002 + 4/2.000000000000002) / 2 = 2
(2.0000000929222947 + 4/2.0000000929222947) / 2 = 2.000000000000002
(2.000609756097561 + 4/2.000609756097561) / 2 = 2.0000000929222947
(2.05 + 4/2.05) / 2 = 2.000609756097561
(2.5 + 4/2.5) / 2 = 2.05
(1 + 4/1) / 2 = 2.5
(B + 4/B) / 2

Per altri commenti: successioni neGli Oggetti Matematici.

Considera le successioni così definite:
x(0) = A, x(n+1) = √x(n)	y(0) = 1, y(n+1) = (y(n) + A/y(n)) / 2
Usando una calcolatrice, calcola un po' di elementi delle successioni che si ottengono assegnando ad A i valori seguenti: 4, 2, 100, 0.25. Che cosa puoi congetturare dalle uscite che ottieni?