Osserva:   1+2+3+4+5+6 =
1+(2+3+4+5)+6 = (1+6)+2+(3+4)+5 = (1+6)+(2+5)+(3+4) = 7*3 = 21.
Prova a calcolare analogamente 1+2+3+…+49+50 e 1+2+3+…+98+99.
Trova una formula per il calcolo della somma dei primi n numeri naturali positivi.

Ovvero:  7
        / \
       /   \
      /  7  \
     /  / \  \
    1+2+3+4+5+6 = 7*3
       \   /
        \ /
         7

1+2+3+…+49+50 = (1+50)+(2+49)+(3+48)+…(25+26) = 25*51
In pratica accoppiamo via a via i numeri che sono agli estremi del termine; la loro somma è sempre uguale (vale 51) in quanto via via l'estremo sinistro cresce di 1 (1, 2, 3, …) mentre quello destro cala di 1 (50, 49, 48, …).
Le coppie che si formano sono 50/2. Quindi la somma è 51*50/2.
  A destra è illustrato come il ragionamento si può estendere da 50 ad un generico n che sia pari: ho n/2 coppie aventi come somma n+1.
    _______  n+1  _______
   /                     \
  /       __n+1__         \
 /       /       \         \
1 + 2 + 3 +...+(n-2)+(n-1)+ n = (n+1)*n/2
     \                /
      \____      ____/
             n+1
         
  L'altra somma proposta è un caso con n dispari:
1+2+3+…+98+99 = (1+99)+(2+98)+…(49+51)+50 = 100*49+50 = 100*49+100/2 = 100*99/2
  Faccio (n-1)/2 coppie che hanno per somma n+1, poi mi rimane il valore centrale, pari a (n+1)/2. In tutto ho:
(n+1)(n-1)/2 + (n+1)/2  =  (n+1) (n-1 + 1)/2  =  (n+1)n/2.
  È lo stesso termine ottenuto per il caso pari.
1 + 2 + 3 + … + n  =  n(n + 1) / 2

Potrei arrivare alla stessa conclusione anche riferendomi alla figura a lato: 1+2+...+n (stelline rosse) equivale a metà dell'area della figura costituita dal quadrato di lato n+1 (totale stelline) da cui sia stata tolta la diagonale (stelline grigie): ((n+1)*(n+1)-(n+1))/2, ossia (n+1)*n/2.  
* * * * * *
* * * * * *
* * * * * *
* * * * * *
* * * * * *
* * * * * *

Nota. Numeri come 1, 3, 6, 10, 15, … (ossia esprimibili come n(n+1)/2 con n intero positivo) erano chiamati dai Pitagorici numeri triangolari perché "figurabili" nel modo illustrato a fianco. 
     *  1
    * *  3
   * * *  6
  * * * *  10
 * * * * *  15
* * * * * *  21

  Per altri commenti: successioni neGli Oggetti Matematici.

Si racconta che Gauss avesse sei anni (nel 1783) e frequentasse la scuola elementare quando, un giorno, il maestro diede alla classe il compito di trovare la somma di 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10; i suoi compagni erano ancora assorti nei calcoli quando il piccolo Gauss rispose: "Se l’avessi fatto sommando 1 più 2, poi 3 al risultato, poi 4 al nuovo risultato, e così via, avrei impiegato molto tempo, e cercando di arrivare presto molto probabilmente avrei fatto degli sbagli. Ma vedete, 1+10 fa undici, 2+9 fa di nuovo undici. E così via. Vi sono cinque coppie di questo tipo: 5 volte 11 fa 55”. In pratica Gauss ideò ed usò la formula considerata sopra. L'episodio viene raccontato per evidenziare l'intelligenza di Gauss. La formula era tuttavia nota già, circa, 2000 anni prima.

Per esplorare la situazione potrei anche usare questa calcolatrice. Un esempio: la somma dei primi 1000 interi positivi.

Metto 1000 in (g) e clicco [N]. Vengono generati e scritti in (g) i numeri 1, 2, ..., 1000. Clicco [sum] e in (h) ottengo 500500. Facilissimo.

Se poi in (i) metto 1000 e in (d) metto M*(M+1)/2 ottengo - in (f) - nuovamente 500500.