Sarebbe stato possibile, ma più complesso, dimostrare quanto richiesto sviluppando i calcoli a partire dalle formule che esprimono Cn,0, Cn,1,…, Cn,n.
Per commenti:
calcolo combinatorio neGli Oggetti Matematici.
Dimostra che la somma dei coefficienti binomiali di ordine n è uguale a 2n:
| ( | n | ) | + | ( | n | ) | + ... + | ( | n | ) | = 2n |
| 0 | 1 | n |
| [Suggerimento. Ricorda che |
| rappresenta la quantità | ||||
| degli insiemi di k elementi formabili con n oggetti] | ||||||
Tenendo conto del suggerimento, osserviamo che la somma corrisponde
alla quantità di tutti i possibili sottoinsiemi di un insieme
di n elementi (ci sono quello privo di elementi, ossia l'insieme
vuoto; quelli di 1 elemento; ...; quelli di n elementi, ossia
l'intero insieme). E la quantità di questi sottoinsiemi è
2n.
Sarebbe stato possibile, ma più complesso, dimostrare
quanto richiesto sviluppando i calcoli a partire dalle formule che esprimono Cn,0, Cn,1,…, Cn,n.
Per commenti: calcolo combinatorio neGli Oggetti Matematici.
È facile congetturare la proprietà. Ad esempio con
questa calcolatrice posso fare facilmente calcoli
come i seguenti (le uscite sono da leggere dal basso in alto):
2 ^ 7 = 128
sum=128
1,7,21,35,35,21,7,1
C(7,7) = 1
C(7,6) = 7
C(7,5) = 21
C(7,4) = 35
C(7,3) = 35
C(7,2) = 21
C(7,1) = 7