Trova un modo per esprimere mediante una formula, al variare di n tra i numeri interi positivi, quanto vale 1 + 3 + 5 + ... + (2n−1).

Facciamo delle prove:
per n = 1 la somma vale 1
per n = 2 la somma vale 1+3 = 4
per n = 3 la somma vale 1+3+5 = 9
per n = 4 la somma vale 1+3+5+7 = 16.
È facile congetturare che 1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = n². Facciamo un'ulteriore verifica:
per n = 6 la somma vale 1+3+5+7+9+11 = 36.
    Un modo per dimostrare ciò è quello di ricondursi al fatto che ( es. 2.2 sulle successioni) 1 + 2 + 3 + … + n  =  n(n + 1) / 2
Infatti  1 + 3 + 5 + 7 = 2(1 + 2 + 3 + 4) − 4  e, in generale, 1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = 2(1 + 2 + 3 + ... + n) − n = 2n(n+1)/2 − n = n².
    Un altro modo è quello di far vedere che, se indico con P(n) la proprietà che 1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = n², ho che:

P(1) è vera, e se P(n) è vera allora è vera anche P(n+1).

Da questo potrò concludere che P(n) è vera per ogni numero naturale n ≥ 1.

    Questo procedimento si chiama per induzione, e lo prendiamo per buono, in quanto corrisponde alla nostra idea di numero naturale ( strutture numeriche).

Verifichiamo, dunque, che P(1) è vera:  1 = 1². OK
Verifichiamo che da P(n) segue P(n+1):
• P(n) è 1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = n²;
• P(n+1) è 1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) + (2(n+1)−1) = (n+1)²;
• 1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) + (2(n+1)−1) = n² + (2(n+1)−1) per l'ipotesi che P(n) valga;
• n² + (2(n+1)−1) = n² + 2n +1 = (n+1)²;
• quindi, se P(n) vale, anche P(n+1) vale.

Dunque, per induzione, ho che P(n) è vera per ogni numero naturale n ≥ 1.

Un modo più semplice di dimostrare la cosa è ricorrere alla schematizzazione grafica raffigurata a lato (di facilissima comprensione ... ma ci vuole l'intuizione per trovare questa strada): vedere 1+3+...+(2n−1) pallini disposti in un reticolato di lato n (a destra è raffigurata la situazione per 1+3+...+6: sono in tutto 6·6 pallini).

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    Per altri commenti: successioni neGli Oggetti Matematici.

Come controllare facilmente calcoli di questo genere col software online WolframAlpha.

Un modo molto semplice per confermare la congettura con altri numeri è ricorrere a questa calcolatrice online impiegando il tasto [N] per generare sequenze qualunque di numeri naturali e poi i tasti [data*Q] (Q = 2), [data+Q] (Q = -1) e [sum].  Ad esempio nel caso dei primi 12 termini:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Q = 2  data*Q:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24
Q = -1  data+Q:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23
sum = 144
12 ^ 2 = 144