So che  (vedi)  1+1/10+1/10²+1/10³+… = 1.111… (= 1+1/9)  e che  1+1/2+1/2²+1/2³+… = 2,  (mentre 1+2+3+4+… = ∞).  Si dice anche che 1+1/10+1/10²+1/10³+… e 1+1/2+1/2²+1/2³+… convergono (e che 1+2+3+4+… diverge).  In modo simile si dimostra che, se |x| < 1  1+x+x^2+x^3+... converge.  Verifica la cosa con WolframAlpha e trova, in funzione di x, il valore a cui converge; controlla che il risultato trovato sia in accordo con i due esempi precedenti.  Più in generale si ha che converge ogni somma x1+x2+x3+… tale che esista un K positivo e minore di 1 per cui da un certo posto in poi |xn+1| sia minore di K·|xn|.  Verifica, usando questo criterio, che 1+1/2+1/3!+1/4!+... converge;  prova a trovare quanto vale la somma usando quanto proposto qui.  Dimostra che 1+1/2+1/3+1/4+... non verifica questo criterio.