So che (vedi) 1+1/10+1/10²+1/10³+
= 1.111
(= 1+1/9) e che
1+1/2+1/2²+1/2³+
= 2, (mentre 1+2+3+4+
= ∞).
Si dice anche che 1+1/10+1/10²+1/10³+
e 1+1/2+1/2²+1/2³+
convergono (e che
1+2+3+4+
diverge).
In modo simile si dimostra che, se |x| < 1 1+x+x^2+x^3+... converge. Verifica la cosa con WolframAlpha e
trova, in funzione di x, il valore a cui converge; controlla che il risultato trovato sia in accordo con i due esempi precedenti.
Più in generale si ha che converge ogni somma x1+x2+x3+
tale che esista
un K positivo e minore di 1 per cui da un certo posto in poi |xn+1| sia minore di K·|xn|.
Verifica, usando questo criterio, che 1+1/2+1/3!+1/4!+... converge; prova a trovare quanto vale la somma usando quanto
proposto qui. Dimostra che 1+1/2+1/3+1/4+...
non verifica questo criterio.