So che  (vedi)  1+1/10+1/10²+1/10³+… = 1.111… (= 1+1/9)  e che  1+1/2+1/2²+1/2³+… = 2,  (mentre 1+2+3+4+… = ∞).  Si dice anche che 1+1/10+1/10²+1/10³+… e 1+1/2+1/2²+1/2³+… convergono (e che 1+2+3+4+… diverge).  In modo simile si dimostra che, se |x| < 1  1+x+x^2+x^3+... converge.  Verifica la cosa con WolframAlpha e trova, in funzione di x, il valore a cui converge; controlla che il risultato trovato sia in accordo con i due esempi precedenti.  Più in generale si ha che converge ogni somma x₁+x₂+x₃+… tale che esista un K positivo e minore di 1 per cui da un certo posto in poi |x_n+1| sia minore di K·|x_n|.  Verifica, usando questo criterio, che 1+1/2+1/3!+1/4!+... converge;  prova a trovare quanto vale la somma usando quanto proposto qui.  Dimostra che 1+1/2+1/3+1/4+... non verifica questo criterio.

• Se in WolframAlpha metto "1+x+x^2+x^3+..." ottengo:
∑ _{k = 0 … ∞} x^k = 1/(1−x) se |x| < 1.
• Nel caso di 1+1/10+1/10²+1/10³+… ho 1/(1-1/10) = 10/9 = 1+1/9; in quello di 1+1/2+1/2²+1/2³+… ho 1/(1-1/2) ) = 2.
• Usando il criterio proposto  1+1/2+1/3!+1/4!+...  converge in quanto  1/(n+1)! = 1/n!·1/(n+1) < 0.5·1/n!  per ogni  n > 2.
• La somma converge rapidamente. Il calcolo con R

a <- function(n) 1/factorial(n) # a(n) elemento n-esimo della sommatoria
N <- function(n) seq(1,n,1)     # N = 1 2 ... n
S <- function(n) sum(a(N(n)))   # somma a(1)+...a(n)
print(S(10),15)
# 1.71828180114638
print(S(20),15)
# 1.71828182845905
print(S(40),15)
# 1.71828182845905
## Posso intuire che sia e-1:
print(exp(1),15)
# 2.71828182845905

o con la nostra calcolatrice:  vedi.

Eventualmente ricorro a WolframAlpha: metto 1.71828182845905 e ottengo  e − 1.

• 1+1/2+1/3+1/4+... non verifica il criterio in quanto non si può trovare K, 0 < K < 1 tale che 1/(n+1) < K/n per ogni n suffcientemente grande. Infatti questa condizione equivale a n/(n+1) < K e qualunque sia K (< 1) posso trovare n/(n+1) maggiore di esso in quanto n/(n+1) → 1 per n → ∞.

• Si può dimostrare che 1+1/2+1/3+1/4+... diverge:
1 + 1/2 + 1/3 + …  = 1 + (1/2 + 1/3 + ... + 1/10) + (1/11 + ... + 1/100) + (1/101 + ... + 1/1000) + ...  >
1 + (1/10 + 1/10 + ... + 1/10) + (1/100 + ... + 1/100) + (1/1000 + ... + 1/1000) + ... =
1 + 9·1/10 + 90·1/100 + 900·1/1000 + ...  =  1 + 0.9 + 0.9 + 0.9 + ...