Sia  x(1) = K,  x(n+1) = (x(n)² + 1.25)/3.  Esistono valori positivi da assegnare a K affinché la successione x(.) converga?

Se la successione convergesse ad un limite L  (x(n) → L per n → ∞)  occorrerebbe che L = (L² + 1.25)/3, ovvero che L − (L² + 1.25)/3 = 0, ovvero che L² − 3L + 1.25 = 0, ovvero che L = 0.5 o L = 2.5. Vediamo se ciò può accadere.  Indichiamo con F la funzione che ad x(n) associa x(n+1), ossia a x associa (x²+1.25)/3. Al limite la situazione deve tendere al caso in cui x sia uguale a F(x) ossia o a x=0.5 o a x=2.5, come di vede nella figura seguente  (tracciata con questo script).

F: x → (x² + 1.25) / 3

Se x(1)=2 (pallino celeste al centro), x(2) = F(x(1)) è l'ordinata del punto (sotto al pallino celeste) in cui la retta x=x(1) incontra il grafico di F.  x(2) è anche l'ascissa del punto della retta y=x avente x(2) come ordinata.  F a x(2) associa x(3). Il punto su y=x avente x(3) come ordinata ha x(3) anche come ascissa.  E così via.  Come si vede nella figura, x(n) tende a coincidere con 0.5 (pallino giallo a sinistra).
Lo stesso accade se x(1) è minore di 2.5 e maggiore o eguale a 0.5.

Se x(1) = 2.5 ogni altro x(n) vale 2.5.  Se x(1) > 2.5 (nella figura è illustrato il caso di x(1) = 3) al crescere di n x(n) tende all'infinito.

Concludendo deve essere 0.5 ≤ K ≤ 2.5.

Come si potrebbe impiegare R.

g <- function(x) (x^2+1.25)/3
plot(c(0,4),c(0,4), type="n", xlab="", ylab="", asp=1)
abline(h=seq(-1,5,1/2),v=seq(-1,5,1/2),lty=3,col="grey60")
abline(h=0,v=0)
plot(g,5,0, add=TRUE, col="blue")
abline(0, 1 ,col="red")
# Dal grafico di g intuisco cosa accade. Comunque faccio delle prove:
x <- 2; lines(c(x,x,g(x)),c(x,g(x),g(x)),col="brown")
x <- g(x); lines(c(x,x,g(x)),c(x,g(x),g(x)),col="brown")
x <- g(x); lines(c(x,x,g(x)),c(x,g(x),g(x)),col="brown")
x <- g(x); lines(c(x,x,g(x)),c(x,g(x),g(x)),col="brown")
x <- g(x); lines(c(x,x,g(x)),c(x,g(x),g(x)),col="brown")
x <- g(x); lines(c(x,x,g(x)),c(x,g(x),g(x)),col="brown")
# Per x(1) = 2, o x(1) < 2.5, converge a 1/2
x <- 2; for (i in 1:7) {x <- g(x); print(x)}
# 1.75 1.4375 1.105469 0.8240204 0.6430032 0.5544844 0.519151
#
x <- 3; lines(c(x,x,g(x)),c(x,g(x),g(x)),col="brown")
x <- g(x); lines(c(x,x,g(x)),c(x,g(x),g(x)),col="brown")
# Per x(1) = 3, o x(1) > 2.5, diverge
x <- 3; for (i in 1:7) {x <- g(x); print(x)}
# 3.416667 4.30787 6.602582 14.94803 74.89788 1870.314 1166025

# Converge a 2.5 solo se x(1) = 2.5:
x <- 2.5; for (i in 1:7) {x <- g(x); print(x)}
# 2.5  2.5  2.5  2.5  2.5  2.5  2.5