Studia (col computer) la convergenza delle due successioni tra loro collegate così definite:
  s(1) = t(1) = √2,  s(n+1) = √(2+s(n)),  t(n+1) = 2ⁿ⁺¹√(2−s(n))

Prima usiamo una calcolatrice online:

Studio la converenza di s.  In d metto sqrt(2) ottenendo in f  1.4142135623730951. Poi in d metto sqrt(2+B) e clicco ripetutamente [=] ottenendo in k (leggi dal basso verso l'alto):

sqrt(2+1.9999999999999998) = 2
sqrt(2+1.9999999999999993) = 1.9999999999999998
...
sqrt(2+1.9999623505652022) = 1.9999905876191524
sqrt(2+1.999849403678289)  = 1.9999623505652022
sqrt(2+1.9993976373924085) = 1.999849403678289
sqrt(2+1.9975909124103448) = 1.9993976373924085
sqrt(2+1.9903694533443939) = 1.9975909124103448
sqrt(2+1.9615705608064609) = 1.9903694533443939
sqrt(2+1.8477590650225735) = 1.9615705608064609
sqrt(2+1.4142135623730951) = 1.8477590650225735
sqrt(2+B)
rad(2) = 1.4142135623730951

Evidentemente s(n) → 2 per n → ∞.

Utilizzando questi valori, con dei "copia" e "incolla", studio la converenza di t.  In d metto pow(2, 2)*sqrt(2 - 1.4142135623730951 ) ottenendo 3.061467458920718. Poi modifico quanto in d mettendo 3 al posto del secondo 2 e mettendo 3.061467458920718 al posto di 1.4142135623730951. E così via:

...
pow(2, 10)*sqrt(2 - 1.9999905876191524) = 3.141591421504635
pow(2, 9)*sqrt(2 - 1.9999623505652022 ) = 3.141587725279961
pow(2, 8)*sqrt(2 - 1.999849403678289 )  = 3.1415729403678827
pow(2, 7)*sqrt(2 - 1.9993976373924085 ) = 3.1415138011441455
pow(2, 6)*sqrt(2 - 1.9975909124103448 ) = 3.141277250932757
pow(2, 5)*sqrt(2 - 1.9903694533443939 ) = 3.140331156954739
pow(2, 4)*sqrt(2 - 1.9615705608064609 ) = 3.1365484905459406
pow(2, 3)*sqrt(2 - 1.8477590650225735 ) = 3.121445152258053
pow(2, 2)*sqrt(2 - 1.4142135623730951 ) = 3.061467458920718

Evidentemente t(n) → π per n → ∞.

Che s(n) → 2 per n → ∞ è facile dimostrarlo.
Detto L il limite, abbiamo che L = √(2+L), da cui L² = 2+L, da cui L = 2.
Per la seconda successione ci accontentiamo di osservare che tende a π.

Studiaml la converenza anche con un algoritmo, qui implementato in R:

s <- sqrt(2); t <- sqrt(2)
for(i in 2:25) {t <- 2^i*sqrt(2-s); s <- sqrt(2+s); print(c(s,t))}
# 1.847759 3.061467
# 1.961571 3.121445
# 1.990369 3.136548
# 1.997591 3.140331
# 1.999398 3.141277
# 1.999849 3.141514
# 1.999962 3.141573
# 1.999991 3.141588
# 1.999998 3.141591
# 1.999999 3.141592
# 2.000000 3.141593
# 2.000000 3.141593
# 2.000000 3.141593
# 2.000000 3.141593
# 2.000000 3.141593
# 2.000000 3.141593
# 2.000000 3.141592
# 2.000000 3.141597
# 2.000000 3.141597
# 2.000000 3.141519
# 2.000000 3.141208
# 2.000000 3.142451
# 2.000000 3.142451
# 2.000000 3.162278

Osserviamo che da un certo punto in poi le uscite si scostanto da π (3.14159265…). Ciò è dovuto alla comparsa di errori di arrotondamento nel calcolo di 2−s(n) al crescere di n dovuti al fatto che s(n) tende a 2.