Nella seguente illustrazione, quanti e quali sono i rettangoli, i quadrati, i rombi, i trapezi e i parallelogrammi?

rettangoli	quanti?	3	quali?	A, C, D
quadrati	quanti?	2	quali?	C, D
rombi	quanti?	2	quali?	C, D
trapezi	quanti?	5	quali?	tutti
parallelogrammi	quanti?	4	quali?	A, C, D, E

Se hai considerato rettangolo solo A, hai pensato erroneamente che i quadrati non siano rettangoli, che invece includono tutti i quadrilateri con gli angoli retti. Questo errore probabilmente è legato al fatto che, nella vita di tutti i giorni, quando diciamo che un tavolo è rettangolare intendiamo (giustamente) dire che non è quadrato, altrimenti avremmo detto che è quadrato. Quando di considera una proprietà all'interno di una definizione o una argomentazione di tipo matematico occorre invece includere anche i casi particolari.
  Motivazioni simili stanno dietro ad altri possibili errori, ad esempio se hai considerato come parallelogramma solo E, mentre parallelogrammi sono tutti i quadrilateri che hanno i lati opposti paralleli (quindi lo sono anche i rettangoli), o se hai escluso dai trapezi (quadrilateri con almeno due lati paralleli) i parallelogrammi.
  Se non hai considerato rombo C forse è dovuto al fatto che sei abituato a vedere i rombi sempre disposti con le diagonali orizzontali o verticali. Ma la disposizione non deve essere presa in considerazione per stabilire di che figura si tratta (anche se è vero che a volte si sottintende una certa disposizione, ad es. quando si parla di "base" o di "altezza" di una figura a volte ci si riferisce non solo alla figura ma anche alla sua disposizione).
  La figura seguente riassume le relazioni tra i vari tipi di quadrilateri:

Questo quesito (sottoposto nel 2000/01 a varie classi del biennio superiore) ha dato i seguenti esiti:
- il 97% degli alunni non considera tra i rettangoli i quadrati (né C né D);
- il 38% non considera tra i quadrati D (quello con le diagonali parallele ai margini);
- il 79% non considera tra i rombi C (il quadrato con i lati paralleli ai margini); il 31% non considera neanche D;
- nessuno si rende conto che tutte le figure sono trapezi;
- solo il 24% individua tutti i parallelogrammi; gli altri scelgono quasi tutti solo E (il parallelogramma non rettangolo).
    Una formulazione alternativa proposta (nel 2004/05) alla fine delle superiori a 1394 studenti, in cui essi dovevano stabilire quante erano le figure dei vari tipi scegliendo tra:

	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
rettangoli	1	3	2	3	2
quadrati	1	2	2	2	2
rombi	1	2	1	2	2
trapezi	1	5	2	4	2
parallelogrammi	1	4	2	3	2

non ha avuto esiti migliori. Per individuare in (2) la risposta corretta bastava ragionare solo sui trapezi o solo sui parrallelogrammi o solo su rettangoli e quadrati. Solo il 44% ha risposto correttamente e ben il 25% ha scelto la risposta (1): vi sarebbe esattamente una figura per ogni tipo!

  Emergono difficoltà legate almeno a due aspetti, già accennati sopra:
– la tendenza a riferire i diversi tipi di figure a disposizioni standard, che è originata (nel corso degli anni di scuola) da modi stereotipati di raffigurare le figure presenti nei libri di testo e da terminologie scolastiche (come quando di dice che l'area di un rettangolo è "base per altezza" invece che, ad es., "prodotto delle misure di due lati non consecutivi" o che quella di un triangolo è "base per altezza diviso 2" invece che "semiprodotto della misura di un lato per l'altezza ad esso relativa", o, almeno, non si precisa, a parole e con attività opportune, il significato convenzionale dei termini "base" e "altezza");
– la semantica delle frasi del linguaggio comune è diversa da quella usata in matematica per definizioni e descrizioni di proprietà; legata a questo fenomeno è la difficoltà degli alunni ad accettare come vera la relazione 5 ≤ 9: "5 è minore di 9, perché ingannare dicendo che potrebbe essere uguale a 9?". [per altri commenti su questo aspetto: tangente e curve neGli Oggetti Matematici]