Indicati con A e B due numeri naturali, voglio dimostrare che:
se A·B è pari, uno dei due fattori è pari.
 (1)   Affinché la proprietà sia vera, con "uno" sto intendendo "esattamente uno" o "almeno uno"?
 (2)   Completa la seguente proposizione in modo che dimostrare essa sia equivalente a dimostrare la precedente:
se A e B sono dispari …
 (3)   Dimostra la proprietà considerata.

(1) Qui "uno" sta per "almeno uno": il prodotto tra due numeri pari è pari.

(2) "Se A e B sono dispari, A·B è dispari".
Infatti la proposizione originale equivale a:
"se non accade che almeno uno dei due fattori sia pari allora A·B non è pari", ovvero a:
"se entrambi i fattori sono dispari allora A·B è dispari".

(3) Ci conviene riferirci alla seconda formulazione. Se moltiplico due numeri dispari ci pare evidente che il risultato sia dispari: 1·3 = 3, 5·7 = 35, …. Con qualche esempio è facile convincersene. Proviamo, tuttavia, a spiegare questo fenomeno.
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5 · 4
 
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5 · 5
 • Il prodotto tra un numero X dispari e uno Y pari (come 5·4) è pari in quanto può essere pensato come il prodotto di un numero per 2 (5·4 = 5·2·2 = 10·2): a sinistra di vede una riga di 5 pallini risprodotta 4 volte.  Se passo al prodotto tra X e il successivo di Y (5·5), cioè tra un numero dispari e un altro numero dispari, aggiungo al risultato precedente una quantità dispari; nel caso raffigurato aggiungo una riga di 5 pallini. Quindi il risultato da pari diventa dispari (infatti se a un numero pari aggiungo un numero dispari ottengo un numero dispari).
Questa è una dimostrazione, in cui abbiamo usato un'altra proprietà: la somma di un numero pari e uno dispari è dispari, che potremmo a sua volta dimostrare:
un numero pari è ottenibile a parire da 0 muovendosi di 2 in 2; se aggiungo un numero pari arrivo in un numero che è ancora pari in quanto raggiungibile anch'esso a partire da 0 muovendosi di 2 in 2; se ne aggiungo uno dispari invece ottengo un numero che per essere raggiunto richiede anche un passo lungo 1:
4 0 → 1 → 2 → 3 → 4
2 0 → 1 → 2
3 0 → 1 → 2 → 3
4+2  0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6
4+3  0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7
•  Potremmo fare anche una dimostrazione di tipo algebrico, cercando di descrivere un generico numero dispari con una formula:
– un numero dispari è pensabile come il successivo di un numero pari, ossia del tipo P+1 con P numero pari;
– un numero pari è pensabile come il prodotto per 2 di un generico numero intero N, ossia del tipo N·2;
– quindi un numero dispari è del tipo N·2+1;
– se moltiplico due numeri dispari, che avranno forme del tipo M·2+1 e N·2+1, con M e N numeri interi, ottengo:
(M·2+1)·(N·2+1) = [sviluppando] M·N·4+M·2+N·2+1 = [raccogliendo 2] (M·N·2+M+N)·2+1
    Ho ottenuto un numero del tipo A·2+1, con A numero intero, ossia un numero dispari.
Nota. La prima dimostrazione potrebbe essere migliorata nella presentazione usando il principio di induzione:
per far vedere che una proprietà vale per una certa successione di oggetti matematici x1, x2, x3, … basta far vedere che:
– vale per il primo (x1) e che:
– dall'ipotesi che valga per un certo oggetto (xN) si può dedurre che valga per il successivo (xN+1).
Il principio di induzione si basa sulla stessa idea su cui si fonda il concetto di numero naturale, quella di un contatore che, a partire da una espressione inziale, genera con un meccanismo la espressione successiva ( I numeri): come un qualunque numero naturale può essere ottenuto da 0 attraverso successive applicazioni del passaggio al successore, così la verità di una proprietà per una certa successione di oggetti matematici può essere giustificata a partire dalla sua verità per l'oggetto iniziale attraverso successivi passaggi che permettono di asserirne la verità per l'oggetto successivo.
Nel nostro caso la proprietà, fissato un generico numero naturale dispari X, è che  X·D sia dispari per ogni numero naturale dispari D.  Ecco la dimostrazione "per induzione":
– Caso iniziale. Il primo numero dispari è 1, X·1=X, che è dispari.
– Passaggio da un caso al successivo. Supponiamo ora (ipotesi) che la proprietà valga per D, e facciamo vedere che vale per il numero dispari successivo, ossia per D+2.  X·(D+2) = X·D+X·2. X·2 è pari mentre X·D è dispari per ipotesi; quindi la loro somma è dispari. La dimostrazione è finita.