In quante parti posso suddividere un cerchio se traccio su di esso N punti e li congiungo in tutti i modi possibili con dei segmenti? Nella figura seguente sono illustrati i casi N=1, N=2, N=3 e N=4.

L'analisi di questi ed altri eventuali casi ti suggerisce qualche possibile modo di esprimere questa quantità in funzione di N? Prova a dimostare o a confutare questa tua congettura.

Come si vede nella figura presente nel testo del quesito, per N=1 non ho segmenti, e il numero P delle parti è 1. Per N=2 ho 1 segmento e 2 parti: P=2. Per N=3 si ottengono 4 parti. Per N=4 se ne ottengono 8. Sembrerebbe che ad un punto in più corrisponda un raddoppio delle parti in cui riesco a suddividere il cerchio. A destra è illustrato il caso N=5, per cui si ha P=16. Tutto sembra confermare la possibilità di descrivere il fenomeno con la formula P = 2N-1.

Tuttavia se cerchiamo di trovare una qualche argomentazione che ci faccia capire come mai all'aggiunta di un punto corrisponda un raddoppio delle parti, non riusciamo a trovarla. Prima di metterci a fare altri tentativi proviamo a pensare se ci sembra plausibile che valga una tale formula. Per N=6 avremmo P=32, …, per N=20 avremmo P = 219 = 524288. A questo punto, se la intuizione inziale ci poteva indurre alla congettura, una riflessione su questo valore ci dovrebbe far intuire come sia improbabile ottenere con solo 20 punti mezzo milione di parti: basta provare a "prevedere" l'immagine del cerchio suddiviso a partire da 20 punti per capire che le parti non possono essere così tante (si otterrebbe una macchia nera, mentre intuiamo che questo non si verifica). Proviamo a questo punto a fare qualche altro tentativo. Vediamo che effettivamente per N=6 non si ottiene 32 ma 31. La formula ipotizzata non è dunque un modello della nostra situazione (lo è solo per N < 6).     Questo quesito mette in luce da una parte come sia possibile fare congetture false e come sia utile cercare di trovare una dimostrazione (ovvero una spiegazione generale del fenomeno), dall'altra come l'intuizione può essere raffinata combinandola con degli elementi di riflessione o di elaborazione matematica.