È possibile dividere un triangolo in quattro parti di area uguale con due tagli tra loro perpendicolari?

Intutivamente sembra possibile collocare due rette perpendicolari su un qualunque triangolo in modo che lo suddividano in quattro parti uguali. Proviamo a trasformare la nostra intuizione in un ragionamento più controllabile. Prendiamo due rette r e s che si incontrino perpendicolarmente. Muoviamo r parallelamente a sé stessa (ossia la trasliamo) fino a che divide il triangolo in due parti di ugual area (quella gialla e quella verde nella figura sottostante). La cosa è possibile in quanto attraversando il triangolo ne intrecetta una parte (in verde nella figura) la cui area varia con continuità da 0 fino all'area dell'intero triangolo (l'area di un poligono infatti può essere espressa mediante le quattro operazioni a partire dalle coordinate dei vertici; variando la "x" di una coppia di vertici verticalmente allineati l'area varia con continuità in funzione di x). Quindi () assume man mano tutti i valori intermedi e, in particolare, il valore pari a metà dell'area dell'intero triangolo
Analogamente trasliamo s fino a dividere la parte verde in due parti A e B di uguale area, pari ad 1/4 dell'area del triangolo.  Se le altre due parti, X e Y, hanno uguale area abbiamo finito.
Altrimenti, se X è la parte di area maggiore, eseguo una successione di piccole rotazioni della coppia di rette (mantenendole perpendicolari) in modo che la parte A tenda a spostarsi dove prima era la parte X. Via via traslo anche la coppia di rette in modo che A e B mantegano le loro aree. In questo modo arrivo a compiere una rotazione di 90°, giungendo alla situazione illustrata sopra a destra. Ora X è più piccolo di Y. Dunque, durante questo spostamento, in cui l'area di X è variata con continuità, ad un certo punto X deve avere avuto area uguale ad 1/4 dell'area del triangolo, ed uguale a quella di Y. In quella situazione A, B, X e Y avevano area uguale.

Un ragionamento simile si può ripetere per ogni figura convessa. Quindi … qualunque torta, per quanto sia di forma strana, con due tagli perpendicolari può essere sempre divisa in quattro parti di ugual peso.
Le argomentazioni qui svolte potrebbe essere dettagliate meglio per trasformarle in una vera e propria dimostrazione.