Per dimostrare che la somma degli angoli di ogni triangolo del piano è uguale a 180° si può procedere nel modo seguente?
Sia S il valore di tale somma. A lato è raffigurato un generico triangolo. K è un punto interno al lato PQ. Si ha: a+b+f = S e c+d+e = S. Quindi a+b+f+c+d+e = 2S. Ma anche a+d+(e+f) = S, mentre b+c = 180°. Quindi S+180° = 2S, da cui 180° = S.

La dimostrazione si potrebbe ripetere pari pari per un triangolo sulla sfera, per il quale sappiamo che la somma degli angoli non è 180°, ma maggiore. Quindi c'è qualcosa che non va. Analizzando più a fondo la dimostrazione ci si accorge che si è utilizzata implicitamente l'ipotesi che la somma degli angoli non dipenda dal particolare triangolo, ossia che esista un valore (costante) S a cui sia uguale la somma delle ampiezze degli angoli di ogni triangolo. In effetti si può dimostrare che una superficie è piana se e solo se su di essa i triangoli formati da tre rotte rettilinee hanno tutti angoli aventi ampiezze con la stessa somma.

Per altre considerazioni: triangoli neGli Oggetti Matematici.