In quali ipotesi posso assumere per buona questa dimostrazione del teorema di Pitagora? Sia A un triangolo rettangolo e siano B e C i triangoli rettangoli in cui è possibile suddividerlo tracciando la retta perpendicolare all'ipotenusa, a, e passante per il vertice dell'angolo retto . Le aree di B e di C hanno come somma l'area di A: area(A) = area(B)+area(C). B e C hanno la stessa forma di A avendo gli stessi angoli (anche se in ordine inverso); siano b e c le loro ipotenuse, ossia gli altri lati di A. Essendo i triangoli simili i rapporti tra le loro aree sono il quadrato dei rapporti tra i corrispondenti lati e, in particolare, tra le corrispondenti ipotenuse. Quindi da  area(A) = area(B)+area(C)  deduco che  a² = b² + c².

    Nella dimostrazione ho affermato che B e C hanno gli stessi angoli di A. Ciò l'ho, indirettamente, dedotto dal fatto che ciascuno di essi ha un angolo retto come A e un angolo in comune con A utilizzando il fatto che la somma degli angoli di un triangolo è costante, che (vedi l'esercizio 5.5 qui) equivale al fatto che la somma degli angoli sia 180°.
    Probabilmente questa è la prima "dimostrazione" del (cosiddetto) teorema di Pitagora.  Parliamo di dimostrazione tra virgolette in quanto in una impostazione assiomatica della geometria come quella di Hilbert o come quella di Enriques-Amaldi (vedi) una effettiva dimostrazione è molto complessa (nel link puoi accedere anche ad una sintesi dei manuali di Enriques-Amaldi e di Prodi in cui puoi vedere dove è "collocato" il teorema di Piatgora).

Nelle impostazioni che hanno un "approccio metrico", diffusesi nell'ultimo secolo, il teorema di Pitagora viene assunto come assioma (vedi).     Questo, sostanzialmente, è anche il modo in cui negli Oggetti Matematici viene introdotto il "teorema", ossia come modo per definire la distanza che caratterizza il cosiddetto "piano euclideo" (vedi).     Clicca QUI per approfondimenti e una rappresentazione animata del teorema di Pitagora.

Nota. 
    In molti libri di testo italiani si introduce la geometria piana come rappresentazione matematica dell'idea intutiva di piano fornita dalla superficie di un lago o del mare in bonaccia, ma sappiamo bene, e sanno bene gli alunni (nel XXI secolo, non qualche millennio a.C.), che queste superfici non sono "piatte":  fare delle presentazioni intuitive del teorema di Pitagora dicendo loro che sono delle "dimostrazioni" e, magari, usarle per motivare l'esistenza dei numeri irrazionali  (!!! - vedi)  sono solo delle forme di diseducazione matematica;  è uno dei tanti modi in cui si preparano gli alunni a separare la matematica  (e il modo di "imparare", "ragionare" o "ripetere" in matematica, e in generale nelle materie scolastiche)  dall'uso delle consocenze, dei ragionamenti, … al di fuori della scuola.