1) 0 ≤ Pr(A) 2) Pr(A or not A) = 1 3) Pr(A and not A) = 0 4) Pr(A1 or A2 or A3 or …) = Pr(A1) + Pr(A2) + Pr(A3) + … se Ai e Aj sono incompatibili quando i≠j 5) Pr(A) ≤ 1 6) Pr(not A) = 1 – Pr(A) 7) Pr(A or B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A and B) |
Si possono facilmente intuire le implicazioni schematizzate sopra a destra: che 5) è deducibile da 1), 2) e 4), che 7) è deducibile da 4), che 6) è deducibile da 2) e 4), che 3) è deducibile da 2) e 6), ovvero da 2) e 7).
Ecco, come esempio, alcune dimostrazioni.
6) è deducibile da 2) e 4): | |
i) Pr(A or not A) = Pr(A) + Pr(not A) | per 4) |
ii) Pr(A or not A) = 1 | per 2) |
iii) Pr(not A) = 1 – Pr(A) | per i) e ii) |
3) è deducibile da 2) e 6): [idea:
passo da un evento con and a uno con or in modo da usare 6); posso farlo
ricorrendo all'equivalenza tra | |
i) A and not A equivale a not (not A or A) | vedi sopra |
ii) Pr(not (not A or A)) = 1 – Pr(not A or A) | per 6) |
iii) Pr(not A or A) = 1 | per 2) |
iv) Pr(not (not A or A)) = 1 – 1 = 0 | per ii) e iii) |
v) Pr(A and not A) = 0 | per i) e iv) |
7) è deducibile da 4). Indichiamo con C la condizione A and B: | |
i) A equivale a C or (A and not B) | verificabile con le tavole di verità [o col diagramma soprastante] |
ii) Pr(C or (A and not B)) = Pr(C) + Pr(A and not B) | per 4) |
iii) Pr(A) = Pr(C) + Pr(A and not B) | per i) e ii) |
iv) A or B equivale a B or (A and not B) | verificabile con le tavole di verità o un diagramma |
v) Pr(B or (A and not B)) = Pr(B) + Pr(A and not B) | per 4) |
vi) Pr(A or B) = Pr(B) + Pr(A and not B) | per iv) e v) |
vii) Pr(A or B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(C) | per iii) e vi) |
Per altri commenti: Calcolo delle probabilità, Strutture numeriche e non e Definizioni e dimostrazioni neGli Oggetti Matematici.