1)  0 ≤ Pr(A)     2)  Pr(A or not A) = 1     3)  Pr(A and not A) = 0

4)  Pr(A1 or A2 or A3 or …) = Pr(A1) + Pr(A2) + Pr(A3) + … se Ai e Aj sono incompatibili quando i≠j

5)  Pr(A) ≤ 1     6)  Pr(not A) = 1 – Pr(A)

7)  Pr(A or B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A and B)

 

Si possono facilmente intuire le implicazioni schematizzate sopra a destra:  che 5) è deducibile da 1), 2) e 4),  che 7) è deducibile da 4),  che 6) è deducibile da 2) e 4),  che 3) è deducibile da 2) e 6), ovvero da 2) e 7).

Ecco, come esempio, alcune dimostrazioni.

6) è deducibile da 2) e 4):
i) Pr(A or not A) = Pr(A) + Pr(not A)per 4)
ii) Pr(A or not A) = 1per 2)
iii) Pr(not A) = 1 – Pr(A)per i) e ii)
3) è deducibile da 2) e 6): [idea: passo da un evento con and a uno con or in modo da usare 6); posso farlo ricorrendo all'equivalenza tra not(P or Q) e (not P) and (not Q) o all'equivalenza tra not(P and Q) e (not P) or (not Q), entrambe ricavabili con le tavole di verità o con un diagramma insiemistico]
i) A and not A equivale a not (not A or A)vedi sopra
ii) Pr(not (not A or A)) = 1 – Pr(not A or A)per 6)
iii) Pr(not A or A) = 1per 2)
iv) Pr(not (not A or A)) = 1 – 1 = 0per ii) e iii)
v) Pr(A and not A) = 0per i) e iv)
7) è deducibile da 4). Indichiamo con C la condizione A and B:
i) A equivale a C or (A and not B)verificabile con le tavole di verità [o col diagramma soprastante]
ii) Pr(C or (A and not B)) = Pr(C) + Pr(A and not B)per 4) 
iii) Pr(A) = Pr(C) + Pr(A and not B)per i) e ii)
iv) A or B equivale a B or (A and not B)verificabile con le tavole di verità o un diagramma
v) Pr(B or (A and not B)) = Pr(B) + Pr(A and not B)per 4)
vi) Pr(A or B) = Pr(B) + Pr(A and not B)per iv) e v)
vii) Pr(A or B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(C)per iii) e vi)

Per altri commenti: Calcolo delle probabilità, Strutture numeriche e non e Definizioni e dimostrazioni neGli Oggetti Matematici.