In un libro di testo i criteri di eguaglianza per i triangoli sono introdotti così:
− Un capitolo introduttivo sulla natura della geometria spiega che tutte le proposizioni devono essere dimostrate a partire dagli assiomi e che tutti i concetti devono essere definiti a partire dai concetti primitivi, il cui significato è spiegato implicitamente dagli assiomi;  tra i concetti primitivi pone quelli di punto, retta, piano e movimento rigido;  definisce uguali due figure quando esiste un movimento che porta una di esse a coincidere punto per punto con l'altra;  come assioma relativo ai movimenti pone solo quello che l'eguaglianza così definita è una relazione di equivalenza.
− Più avanti si trova questa dimostrazione del criterio lato-angolo-lato (il "1° criterio"):

	Ipotesi:  AB=MN, AC=MP, ∠A=∠M	Tesi:  ΔMNP=ΔABC
	Poiché ∠A=∠M, esiste un movimento che fa sovrapporre le semirette MN e MP rispettivamente alle semirette AB e AC. Poiché AB=MN e AC=MP lo stesso movimento deve far coincidere pure N con B e P con C. Quindi con un movimento è possibile far coincidere i vertici dei due triangoli, che sono dunque uguali.

(1) Pierino, un po' cocciuto e senza un grande feeling con l'insegnante di matematica, che ha adottato tale libro, non capisce a che serve dimostrare l'eguaglianza di due figure evidentemente uguali.  (2) Poi, gli sembra che qualcosa non torni nel ragionamento condotto dal libro, ma non riesce a precisare meglio questa sensazione.  (3) Infine, quando si trova a dover studiare il criterio lato-lato-lato, che il libro dimostra impiegando due pagine, perde ogni fiducia, non sa se in sé o nella matematica: perché tanti discorsi quando bastava procedere con qualche "movimento" come nell'altro caso?

Discuti (1), (2) e (3).