(2)-(3) Analogamente, aver capito una dimostrazione non consiste tanto nell'aver compreso i vari passaggi da una all'altra delle proposizioni attraverso cui si sviluppa, quanto nell'aver compreso il senso complessivo di essa:
(1) Che cosa vuole dire "capire" il seguente programma, scritto in R? (o questo in javascript?)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=2; HF=2; m=10; n=8; BOXW(0,m+1, 0,n+1)
# ho creato un box con ascissa tra 0 e 11, ordinata tra 0 e 9
# indico con R e con C le righe e le colonne
for(C in 1:m) for(R in 1:n)
{if(R==1|R==n|C==1|C==m) x="I" else x="O"; text(C,R,x)}
(2) Che cosa vuole dire "capire" una dimostrazione?
(3) Trovi connessioni tra le due precedenti domande?
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(1) "Capire" il programma non vuol certo dire saper
eseguire passo per passo le azioni che da esso vengono comandate al computer, ma, piuttosto, prevedere
che il programma dà luogo alla stampa di una figura simile a
quella a fianco (vedi qui per lo script in JS) (2)-(3) Analogamente, aver capito una dimostrazione non consiste tanto nell'aver compreso i vari passaggi da una all'altra delle proposizioni attraverso cui si sviluppa, quanto nell'aver compreso il senso complessivo di essa: | |
− avere idea del ruolo che la proposizione oggetto della dimostrazione ha nel complesso della teoria o dell'area matematica in cui si colloca, ossia in relazione agli obiettivi (di inquadramento o generalizzazione o
applicabilità, o … che si stanno perseguendo);
− avere chiare quali sono le risorse e le premesse complessive (assiomi, definizioni esplicite, altri risultati importanti, …) utilizzabile per la dimostrazione;
− essere in grado, eventualmente avendo sottomano la dimostrazione stessa, di individuarne strategie e linee di sviluppo.
Nella pratica didattica, tuttavia, spesso (sia a scuola che nei
corsi universitari, in cui gli insegnanti - e i ricercatori -
sono formati …) non si fanno "capire" le dimostrazioni
agli allievi:
(a) per usare termini già usati dagli
antichi greci, si presenta loro la sintesi
della dimostrazione senza l'analisi (come
ricondurre la proposizione [il problema] ad altre già
dimostrate [risolti] o che appaiono più agevoli da dimostrare
[risolvere]?),
(b) sono assenti, o rare, attività in cui
vengono congetturate proprietà, in cui vengono formulati
problemi, in cui si sperimentano proprietà, …
(c) non viene chiarita (storicamente o riferendosi ai nostri giorni) la distinzione
tra le fasi della ideazione, costruzione, … dei "contenuti"
della matematica e quelle della loro sistemazione e della loro
esposizione;
(d) nel dare molto spazio ad attività
dimostrative riferite a teoremi "classici", nel proporre la
dimostrazione come "strumento" attraverso cui costruire le
conoscenze degli alunni invece che come "oggetto" di
studio, … si dà quindi anche un'immagine distorta del
lavoro dei matematici (che, per altro, in genere non esaminano le
dimostrazioni dei teoremi che utilizzano, a meno che non pensino di
ricavarne una comprensione più profonda del teorema, trarne
spunti per generalizzazioni, individuare strategie applicabili in altri contesti, …);
(e) tuttavia, non viene neanche messa a fuoco l'analogia tra la meccanicità dell'esecuzione di
un programma e la meccanicità che, in via di principio, deve caratterizzare la possibilità
di controllare una dimostrazione; una riflessione su questa analogia potrebbe aprire una riflessione più ampia su natura e ruolo delle dimostrazioni, sulle differenze tra le dimostrazioni più comunemente svolte
nell'insegnamento scolastico o universitario, o in un articolo scientifico (che integrano tecniche e proprietà riferite a varie aree matematiche, ricorrono a interpretazioni di una teoria matematica in un'altra - dimostrazioni di analisi che ricorrono alla geometria, di teoria dei numeri che ricorrono alla variabile complessa -, …) e le derivazioni della logica simbolica (che sono totalmente sintattiche e si presentano come una successione di applicazioni di regole di riscrittura di espressioni), sulla possibilità di ricondurre le prime alle seconde, sul ruolo del computer nelle attività matematiche, …
Queste riflessioni, per altro, si presterebbero a confronti didattici o epistemologici che potrebbero coinvolgere i docenti delle diverse discipline. Per fare un esempio, riferendoci alle considerazioni svolte in (d), si pensi alla analogia tra il sostenere che è attraverso le dimostrazioni che si costruiscono le conoscenze matematiche, ossia prendere la dimostrazione come un metodo di studio invece che un oggetto di studio, e il sostenere che è attraverso gli esperimenti che sono state messe a punto le leggi della fisica, ritenere che gli alunni debbano imparare la fisica attraverso gli esperimenti, pensare che un fisico riproduca gli esperimenti con cui è stata convalidata una legge prima di utilizzarla nella sua attività, …