Dagli Elementi di Euclide
Nozioni comuni (Nc)
1 | Cose che sono uguali a una stessa cosa sono anche uguali fra loro |
2 | Se uguali sono addizionati ad uguali, i rimanenti sono uguali |
3 | Se uguali sono sottratti da uguali, i rimanenti sono uguali |
4 | Cose che coincidono l'una con l'altra sono uguali fra loro |
5 | L'intero è maggiore di una parte |
1 | Si tracci un segmento da un punto qualsiasi a un punto qualsiasi |
2 | Si prolunghi un segmento con continuità su una linea retta |
3 | Si descriva un cerchio con qualunque centro e raggio |
4 | Tutti gli angoli retti siano uguali fra loro |
5 | Se un segmento incontrando due linee rette forma da una stessa parte angoli interni minori di due retti, le due linee rette si incontrino dalla parte in cui vi sono gli angoli minori di due retti |
Proposizione 1
Su una data retta
finita, costruire un triangolo equilatero.
Dim.:
0) Considero il segmento AB
1) Applico Post3 prendendo come centro il punto A e come raggio il segmento AB
2) Applico ancora Post3, considerando come centro B e raggio AB
3) Sia C uno dei due punti di intersezione fra i due cerchi che ho costruito. Applico Post1 scegliendo come punti A e C
4) Applico ancora Post1, scegliendo come punti B e C [clicca l'immagine se vuoi ingrandirla]
• L'esistenza di punti in comune
tra rette è garantita da Post5, ma, senza la continuità, chi mi garantisce l'esistenza [asserita in 3)] di punti in comune tra "curve" che si scavalcano? |
• Si esegue [in 1)] un'operazione di "trasporto" di figure la cui possibilità non viene postulata. Inoltre: • Dal fatto che esistono un movimento M1 che trasporta ∠A in ∠D, un movimento M2 che trasporta il segmento AB nel segmento DE e un movimento M3 che trasporta il segmento AC nel segmento DF, non posso dedurre che esiste un "movimento" (M1 o un altro) che faccia tutte e tre le cose. Poi, dati due punti, Post1 assicura l'esistenza di un segmento che li ha per estremi, non la sua unicità. |