Dal manuale di Enriques e Amaldi (F.Enriques-U.Amaldi, Elementi di Geometria, Bologna, 1936)
[Sono stati riportati, con alcune modifiche linguistiche inessenziali, gli assiomi e una parte delle definizioni e dei teoremi (includendo corollari e lemmi tra i "teoremi") della "geometria piana"]
Introduzione [riscritta e sintetizzata]. Fatta astrazione dalla loro composizione materiale, cioè dalle loro proprietà chimiche, elettriche, magnetiche, , i corpi ci appaiono di varia forma e grandezza. La scienza che studia le proprietà di forma e di estensione si chiama Geometria. I corpi ideali, immaginati astraendo dalla loro composizione materiale, si chiamano figure. In questo trattato le figure sono considerate come insiemi di punti. Possiamo pensare al termine "punto" e all'idea di come una figura sia formata da infiniti punti in modo intuitivo, come nella pratica del disegno; preciseremo, tuttavia, attraverso opportune "definizioni" e "assiomi" le caratteristiche delle varie figure e le relazioni tra i vari tipi di figure, in modo da riferire solo ad essi, e non ad argomentazioni intuitive non controllabili razionalmente, lo studio scientifico delle proprietà geometriche.
1 | ASS.01 Per due punti A e B passa un'unica retta , che viene detta retta AB. | |
2 | ASS.02 Vi sono infinite rette. | |
3 | ASS.03 I punti della retta sono ordinati secondo due versi opposti e tali che in ciascuno di essi non vi è né primo né ultimo punto e fra due punti vi sono infiniti punti intermedi. | |
4 | DEF. Dati i punti A e B dicesi semiretta AB la parte della retta AB che contiene A e i punti successivi nel verso secondo cui B segue A. | |
5 | DEF. Dati due punti A e B dicesi segmento AB la parte comune alle semirette AB e BA. | |
6 | DEF. Due segmenti aventi in comune un unico punto che è estremo di entrambi si dicono consecutivi. | |
7 | DEF. Dati due segmenti consecutivi AB e BC contenuti nella stessa retta, il segmento AC si dice somma di AB e BC. AB dicesi differenza di BC da AC. | |
8 | ASS.04 L'uguaglianza tra segmenti è transitiva. Somme di segmenti uguali sono uguali. Dati una semiretta AB e un segmento CD, esiste un segmento AE uguale a CD e contenuto nella semiretta AB. | |
9 | TEO. L'operazione di somma tra segmenti è associativa e commutativa | |
10 | TEO. Differenze di segmenti uguali da segmenti uguali sono uguali | |
11 | ASS.05 Dati due segmenti AB e AC, il primo contenuto nel secondo, esiste un numero naturale n tale che, sommando ad AB n segmenti uguali ad AB, si ottiene un segmento AD che contiene AC. | |
12 | ASS.06 Una retta r determina due insiemi di punti, detti semipiani limitati da r, tali che: r è contenuta in entrambi i semipiani, ogni altro punto appartiene a uno solo di essi, il segmento che ha per estremi due punti che non stanno su r interseca r se e solo se i due punti appartengono a semipiani diversi. | |
13 | DEF. Dati tre punti A,B,C non allineati dicesi angolo [convesso] ABC l'insieme dei punti comuni al semipiano limitato dalla retta BA e contenente C e al semipiano limitato dalla retta BC e contenente A. Le semirette BA e BC diconsi lati dell'angolo ABC. | |
14 | DEF. Se due rette AB e CD si intersecano in O gli angoli BOC e AOD si dicono opposti al vertice. Due angoli con un lato in comune si dicono consecutivi. | |
15 | DEF. Dicesi somma di due angoli consecutivi AOB e BOC la figura costituita dai punti dell'uno e dai punti dell'altro; AOB dicesi angolo differenza di BOC da essa. Le figure ottenibili come somma di angoli e che non sono angoli convessi vengono dette angoli piatti se sono dei semipiani, angoli concavi altrimenti. | |
16 | ASS.07 L'uguaglianza tra angoli è transitiva. Somme di angoli uguali sono uguali. Dati un angolo e una semiretta esiste un'altra semiretta che con essa forma un angolo uguale all'angolo dato. | |
17 | TEO. Differenze di angoli uguali da angoli uguali sono uguali. | |
18 | ASS.08 Gli angoli piatti sono uguali tra loro | |
19 | TEO. Angoli opposti al vertice sono uguali. | |
20 | DEF. Dati tre punti A,B,C non allineati dicesi triangolo ABC la figura costituita dai punti comuni agli angoli CBA, ACB e BAC. | |
21 | DEF. Due triangoli sono uguali se, indicati con A, B, C i vertici del primo triangolo, è possibile prendere i vertici del secondo nell'ordine A', B', C' in modo che i lati AB, BC e CA e gli angoli in A, in B e in C siano ordinatamente uguali ai lati A'B', B'C' e C'A' e agli angoli in A', in B' e in C'. | |
22 | ASS.09 [il primo criterio di eguaglianza tra triangoli, ossia il criterio lato-angolo-lato] | |
23 | DEF. Due rette si dicono parallele se non hanno punti in comune. | |
24 | DEF. Una retta intersechi una seconda retta in P e una terza retta in Q. Un angolo in P e un angolo in Q che contengano il segmento PQ e stiano in semipiani opposti rispetto alla retta PQ diconsi alterni interni. | |
25 | TEO. Due rette intersecate in P e Q da una terza retta formando una coppia di angoli alterni interni uguali sono parallele. | |
26 | ASS.10 Esiste un'unica retta parallela a una retta data e passante per un punto dato. | |
27 | TEO. La relazione di parallelismo è transitiva. | |
28 | TEO. Due rette parallele intersecate in P e Q da una terza retta formano angoli alterni interni uguali. | |
29 | TEO. La somma degli angoli di un triangolo è uguale a un angolo piatto. | |
30 | DEF. Dato un punto O e un segmento OA, l'insieme dei punti P tali che OP è uguale ad OA viene detto circonferenza di centro O e raggio OA. | |
31 | DEF. I punti dei raggi di una circonferenza che non appartengono alla circonferenza stessa vengono detti punti interni ad essa. | |
32 | ASS.11 Data una circonferenza e un punto A interno ad essa, ogni semiretta di origine A ha un unico punto in comune con la circonferenza. | |
33 | ASS.12 Date due circonferenze a e b di centri A e B distinti, siano AP un raggio di a contenuto nella semiretta AB e BQ un raggio di b contenuto nella semiretta BA. Se P e Q sono distinti e AP e BQ hanno QP come intersezione, a e b hanno esattamente due punti in comune. | |
34 | DEF. [definizione di poligono (convesso) e di somma e differenza di poligoni] | |
35 | ASS.13 Poligoni uguali sono equivalenti. L'equivalenza tra poligoni è transitiva. Somme e differenze di poligoni equivalenti sono equivalenti. Un poligono non è equivalente alla sua somma con un altro poligono. | |
36 | TEO. [teorema di Pitagora] | |
37 | DEF. Se un segmento a è uguale alla somma di n (n numero intero positivo) segmenti uguali al segmento b si dice che a è un multiplo di b e che n è il rapporto tra a ed b. Se i segmenti a e b sono multipli di uno stesso segmento c, se m è il rapporto tra a ed c ed n è il rapporto tra b ed c, si dice che m/n è il rapporto tra a ed b. | |
38 | ASS.14 Dati un segmento a e un segmento b, esiste un multiplo di a che contiene b. Se, per ogni numero naturale n, An+1Bn+1 è un segmento contenuto nel segmento AnBn, allora esiste un punto P che, per ogni n, appartiene al segmento AnBn. | |
39 | DEF. [estensione del concetto di rapporto ad ogni coppia di segmenti, preceduta da opportuni teoremi] | |
40 | TEO. Quattro rette parallele siano intersecate da una prima retta, in ordine, in A, B, C e D, e da una seconda retta in A', B', C' e D'. Se tra i segmenti AB e CD della prima retta vale il rapporto q, lo stesso rapporto vale tra i segmenti A'B' e C'D' della seconda retta. [teorema delle proiezioni parallele - da alcuni, in Italia, chiamato "di Talete"] | |
41 | TEO. Triangoli aventi gli angoli ordinatamente uguali hanno i lati ordinatamente porporzionali. | |
42 | TEO. Triangoli aventi i lati ordinatamente porporzionali hanno gli angoli ordinatamente uguali. |