Dagli Elementi di Euclide

Definizioni (Def)   [estratto: in tutto sono 23] 
1Un PUNTO è ciò che non ha parti
2Una LINEA è lunghezza senza larghezza
3Le estremità di una linea sono punti
4Una LINEA RETTA è una linea che giace uniformemente rispetto ai suoi punti
5Una SUPERFICIE è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza
6Le estremità di una superficie sono linee
7Una SUPERFICIE PIANA è una superficie che giace uniformemente rispetto alle linee rette su di essa
8Un ANGOLO PIANO è l'inclinazione reciproca di due linee in un piano che si incontrano e non giacciono in linea retta
13Un CONTORNO è ciò che è all'estremità di ogni cosa
14Una FIGURA è ciò che è contenuto da qualche contorno
15Un CERCHIO è una figura piana contenuta da una linea tale che tutte le linee rette che la incontrano da un punto fra quelli che giacciono dentro la figura sono uguali l'una con l'altra
16E quel punto è detto il CENTRO del cerchio
19FIGURE rettilinee sono quelle che sono contenute da linee rette, TRILATERE quelle contenute da tre, QUADRILATERE quelle contenute da quattro e MULTILATERE quelle contenute da più di quattro
20  Delle figure trilatere, un TRIANGOLO EQUILATERO è quella che ha tre lati uguali, un TRIANGOLO ISOSCELE quella che ha soltanto due dei suoi lati uguali, e un TRIANGOLO SCALENO quella che ha i suoi tre lati ineguali.

Nozioni comuni (Nc)  
1 Cose che sono uguali a una stessa cosa sono anche uguali fra loro
2 Se uguali sono addizionati ad uguali, i rimanenti sono uguali
3 Se uguali sono sottratti da uguali, i rimanenti sono uguali
4  Cose che coincidono l'una con l'altra sono uguali fra loro
5 L'intero è maggiore di una parte

Postulati (Post) 
1Si tracci una linea retta da un punto qualsiasi a un punto qualsiasi
2Si prolunghi una linea retta terminata con continuità su una linea retta
3Si descriva un cerchio con qualunque centro e distanza
4Tutti gli angoli retti siano uguali fra loro
5  Se una linea retta incontrando due linee rette forma da una stessa parte angoli interni minori di due retti, le due linee rette, se prolungate indefinitamente, si incontrino dalla parte in cui vi sono gli angoli minori di due retti

Proposizione 1
Su una data retta finita, costruire un triangolo equilatero. 
Dim.: 
0)  Considero il segmento AB 
1)  Applico Post3 prendendo come centro il punto A e come raggio il segmento AB 
2)  Applico ancora Post3, considerando come centro B e raggio AB 
3)  Sia C uno dei due punti di intersezione fra le due circonferenze che ho costruito. Applico Post1 scegliendo come punti A e C 
4)  Applico ancora Post1, scegliendo come punti B e C     [clicca l'immagine se vuoi ingrandirla] 
5)  Per Def15 si ha: AC = AB 
6)  Per Def15 si ha: BC = AB 
7)  Da 5) e 6) e da Nc1 ottengo: AC = BC 
8)  Da 5), 6) e 7) e da Def20 ottengo che ABC è un triangolo equilatero.    

Proposizione 2
Costruire da un punto dato una linea retta uguale ad una linea retta data.
Dim.: [omissis]    

Proposizione 4
Se due triangoli hanno due lati uguali a due lati rispettivamente e hanno uguali gli angoli contenuti dalle linee rette uguali, essi avranno anche la base uguale alla base, il triangolo sarà uguale al triangolo, e gli angoli rimanenti saranno uguali rispettivamente agli angoli rimanenti, e precisamente quelli che sono sottesi dai lati uguali

Dim           [clicca l'immagine se vuoi ingrandirla]  :
0)  Considero i due triangoli ABC e DEF. Sia: AB=DE, AC=DF, ∠A=∠D
1)  Trasporto il primo triangolo sul secondo in modo che il punto A si sovrapponga a D e il segmento AB si disponga lungo DE
2)  Poiché AB=DE, per 1) risulta che B è sovrapposto a E e AB è sovrapposto a DE
3)  Poiché ∠A=∠D e, per 1), AB è disposto lungo DE, si ha che AC è disposto lungo DF
4)  Poiché AC=DF e, per 1), A è sovrapposto a D, da 3) risulta che C è sovrapposto a F e che AC è sovrapposto a DF
5)  Poiché per 2) e 4) B e C sono rispettivamente sovrapposti a E e F si ha che BC è sovrapposto ad EF
6)  Quindi per Nc4, da 2), 4) e 5) segue che i triangoli ABC e DEF sono uguali