Dai Fondamenti della geometria di Hilbert
    [estratto con i soli assiomi relativi alla geometria piana]

Consideriamo tre diversi sistemi di oggetti: chiamiamo punti gli oggetti del primo sistema e li indichiamo con A,B,C...; chiamiamo rette gli oggetti del secondo sistema e li indichiamo con a,b,c...; chiamiamo piani gli oggetti del terzo sistema e li indichiamo con α, ß...; i punti si chiamano anche gli elementi di geometria della retta, i punti e le rette elementi della geometria piana, i punti, le rette ed i piani gli elementi della geometria solida o dello spazio.
Noi consideriamo punti rette e piani in certe relazioni reciproche e indichiamo queste relazioni con parole come "giacere", "fra", "congruente"; la descrizione esatta e completa, ai fini matematici, di queste relazioni segue dagli assiomi della geometria.

assiomi di collegamento 
I.1     Dati due punti A, B c'è sempre una retta a che appartiene a ognuno di essi
I.2     Dati due punti A, B c'è al massimo una retta che appartiene a ognuno di essi
I.3     Su una retta ci sono sempre almeno due punti. Ci sono almeno tre punti che non giacciono su una retta.

assiomi di ordinamento 
II.1     Se un punto B giace fra un punto A e un punto C, allora A, B, C sono tre punti distinti di una retta e B giace pure tra C e A
II.2     Per ogni due punti A e C c'è sempre almeno un punto B, sulla retta AC tale che C giace fra A e B.
II.3     Di tre punti qualsiasi di una retta ce n'è al più uno che giace fra gli altri due.
II.4     Siano A, B, C tre punti non allineati ed a una retta (del piano ABC) che non passi per alcuno dei punti A, B, C: allora, se la retta passa per un punto del segmento AB, essa passa certamente anche per un punto del segmento AC ovvero per un punto del segmento BC.    [assioma di Pasch]

assiomi di congruenza 
III.1    Se A e B sono due punti e a è una retta passante per A', allora si può trovare un punto B' che stia da una parte data della retta a rispetto ad A' e sia tale che il segmento AB sia congruente al segmento A'B'.
III.2    Se due segmenti sono congruenti a un terzo, essi sono congruenti tra loro.
III.3    Siano AB e BC due segmenti allineati senza punti in comune, A'B' e B'C' altri due segmenti allineati senza punti in comune. Se AB è congruente ad A'B' e BC è congruente a B'C', allora AC è congruente ad A'C'.
III.4    Siano dati un angolo ∠(h,k), una retta a e una semiretta h' di a. Allora c'è una sola semiretta k' tale che i suoi punti stiano da una data parte della retta a e gli angoli ∠(h,k) e ∠(h',k') siano congruenti.
III.5    Se ∠BAC è congruente a ∠B'A'C', AB è congruente ad A'B' e AC è congruente ad A'C', allora ∠ABC è congruente a ∠A'B'C'.
[III-5 collega i concetti di congruenza di segmenti e di angoli: è, sostanzialmente, il primo criterio di congruenza per i triangoli (III-5 assicura l'uguaglianza degli altri angoli, l'uguaglianza del terzo lato si ottiene usando III.4)]

assioma delle parallele 
IV    Siano a una retta e A un punto fuori di essa. Allora c'è al massimo una retta passante per A e non intersecante a.

assiomi della continuità     [V.2 è in versione modificata rispetto all'originale]: 
V.1    Se AB e CD sono due segmenti qualsiasi c'è un numero n tale che il trasporto del segmento CD reiterato n volte da A sulla semiretta passante per B porta al di là del punto B.    [proprietà archimedea]
V.2    Per ogni numero naturale n A_n e B_n siano punti distinti tali che
1) A_n+1B_n+1<A_nB_n [AB<CD sta per: A è tra C e B, B è tra A e D]
2) non esistono A e B tali che per ogni n AB < A_nB_n
    allora esiste C che, comunque si prenda n, sta tra A_n e B_n.    [completezza]

Nota:
•   "C appartiene al segmento AB" sta per "C giace tra A e B o C giace tra B e A" (per Hilbert il segmento non è un "insieme" di punti); quindi la relazione di congruenza tra segmenti è, in realtà, una relazione tra 4 punti;
•   se A, B e C sono allineati, "C sta rispetto ad A dalla stessa parte di B" e "C appartiene alla semiretta AB" stanno per "esiste D tale che B e C giacciono tra A e D";
•   se A, B e C non sono allineati, "D sta dalla stessa parte di C rispetto alla retta AB" e "D e C stanno nello stesso semipiano rispetto alla retta AB" stanno per "non esiste E che sia comune al segmento DC e alla retta AB";
•   se h e k sono le semirette AB e AC, "D è interno all'angolo ∠(h,k)" sta per "D sta dalla stessa parte di C rispetto alla retta AB e dalla stessa parte di B rispetto alla retta AC".