Dal manuale di Prodi (G.Prodi, Matematica come scoperta, Messina-Firenze, 1977)
[Sono stati riportati, con alcune modifiche linguistiche inessenziali, gli assiomi e solo una parte delle definizioni e dei teoremi (includendo corollari e lemmi tra i "teoremi")]

1 ASS.01  Esiste una distanza d [cioè una funzione d che ad ogni coppia di punti associa un numero reale in modo che, per ogni A, B e C:
•d(A,A)=0, • d(A,B)>0 se B è distinto da A, • d(A,B)=d(B,A),
• d(A,B)≤d(A,C)+d(C,B)].
2 ASS.02  Per due punti A e B passa un'unica retta , che viene detta retta AB.
3 ASS.03  Esistono tre punti A, B e C tali che C non appartiene alla retta AB.
4 DEF. Due rette sono parallele tra loro se non hanno punti in comune.
5 ASS.04  Ogni retta ammette una relazione d'ordine "<" e queste relazioni d'ordine sono tali che: (A, B e C appartengono alla stessa retta e (A<B<C o C<B<A)) se e solo se d(A,C)=d(A,B)+d(C,D)
6 DEF. Dati due punti A e B, se A<B dicesi semiretta AB l'insieme dei punti P tali che A<P e segmento AB l'insieme dei punti P tali che A≤P≤B, se B<A dicesi semiretta AB l'insieme dei punti P tali che P<A e segmento AB l'insieme dei punti tali che B≤P≤A.
7 ASS.05  Per ogni semiretta di origine O e ogni numero reale positivo x esiste un unico punto P della semiretta tale che d(O,P)=x
8 ASS.06  Per ogni retta r esistono due insiemi di punti disgiunti e non contenenti r tali che un segmento AB non taglia r se e solo se A e B appartengono al medesimo di tali insiemi (tali insiemi diconsi semipiani di bordo r)
9 DEF. Si dice angolo ogni coppia di semirette a e b aventi la stessa origine. Se a e b sono contenute nella stessa retta, l'angolo viene detto piatto. Se a e b non sono contenute nella stessa retta, viene chiamata regione angolare di lati a e b l'intersezione del semipiano che contiene a e ha bordo contenente b con il semipiano che contiene b e ha bordo contenente a; l'origine delle semirette viene chiamata vertice della regione angolare.
10 DEF. Si dice triangolo ABC ogni terna di punti A, B e C non appartenenti alla stessa retta. Si chiama regione triangolare associata al triangolo ABC (o regione triangolare ABC) l'intersezione delle tre regioni angolari aventi come lati le semirette AB e AC, BA e BC, CA e CB.
11 DEF. Una isometria è una applicazione bigettiva F del piano in sé stesso tale che per ogni coppia di punti A,B d(A,B)=d(F(A),F(B)).
12 TEO. Una isometria trasforma una retta in una retta.
13 DEF. Data una retta r, una simmetria assiale di asse r è una isometria F tale che se P sta in r allora F(P)=P, altrimenti F(P) è dall'altra parte rispetto a r e F(F(P))=P.
14 ASS.07  Per ogni retta esiste un'unica simmetria assiale che l'ha come asse.
15 DEF. Una retta s è perpendicolare alla retta r se è distinta da r e se viene trasformata in sé dalla simmetria di asse r.
16 TEO. Dati un punto P e una retta r non passante per esso, esiste un'unica retta perpendicolare a r e passante per P.
17 DEF. Dati un punto P e una retta r non passante per esso, dicesi proiezione di P su r l'intersezione di r con la retta perpendicolare a r e passante per P
18 TEO. Dati un punto P e una retta r non passante per esso, c'è un solo punto di r che ha distanza minima da P, e è la proiezione di P su r.
19 TEO. La relazione di perpendicolarità è simmetrica
20 TEO. Una qualunque isometria trasforma due rette tra loro perpendicolari in due rette tra loro perpendicolari.
21 ASS.08  Data una retta r e un punto P di essa, esiste un'unica retta perpendicolare a r e passante per P.
22 TEO. Due rette perpendicolari a una stessa retta sono tra loro parallele.
23 TEO. Dati una retta r e un punto P, esiste una parallela a r passante per P.
24 DEF. Dicesi simmetria centrale di centro O l'applicazione che manda O in O e ogni altro punto P nel punto P' della semiretta PO tale che d(O,P)=d(O,P').
25 TEO. Componendo due simmetrie assiali con assi perpendicolari fra loro si ottiene la simmetria centrale che ha come centro il loro punto di incontro.
26 TEO. Una simmetria centrale è una isometria.
27 TEO. Una simmetria centrale trasforma una retta in una retta ad essa parallela.
28 ASS.09  Se r e s sono rette che si incontrano in O, se indichiamo con P un punto di r e con P' la sua proiezione su s, si ha che d(O,P') è proporzionale a d(O,P).
29 TEO. [teorema di Pitagora]
30 TEO. È unica la parallela mandata a una retta da un punto ad essa esterno.
31 TEO. La relazione di parallelismo è transitiva.
32 TEO. Dati due punti A, B di una retta r e due punti P,Q di una retta s con d(A,B)=d(P,Q), fissati due semipiani a e b con bordi, rispettivamente, r e s, esiste un'unica isometria che manda A in P, B in Q e trasforma a in b.
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ASS.10  Esiste un'unica funzione M, detta misura angolare, che fa corrispondere a ogni angolo (a,b) un numero reale in modo che:
• M(a,b)=0 se e solo se a=b, M(a,b)=π se (a,b) è piatto, l'immagine di M è [0,π],
• s e c è una semiretta contenuta nella regione angolare (a,b) e ha la stessa origine di a e b, allora
M(a,b)=M(a,c)+M(c,b),
• M(a,b)=M(c,d) se (a,b) e (c,d) sono isometrici.
34 TEO. M(a,b)=M(c,d) se e solo se (a,b) e (c,d) sono isometrici.
35 TEO: primo criterio di eguaglianza (isometria) per i triangoli.
36 DEF. Una similitudine è una applicazione bigettiva F del piano in sé stesso tale che esiste una costante positiva k tale che per ogni coppia di punti A,B d(A,B)=k·d(F(A),F(B)). Due figure si dicono simli se esiste una similitudine che trasforma l'una nell'altra.
37 TEO. Triangoli simili hanno angoli ordinatamente uguali.
38 TEO. Triangoli aventi gli angoli ordinatamente uguali sono simili.