Tre esempi tratti da "The Math Instinct" (L'istinto matematico) di Keith Devlin, matematico della Standford University:
• Recife, Brasile. Un ricercatore si avvicina ad una bancarella dove un ragazzino di 12 anni vende noci di cocco, in genere singole o in gruppi di due o tre. Gli chiede "Quanto costa una noce di cocco?"; il ragazzo risponde "35" (cruzeiros, la moneta in uso fino al 1994). "Allora dammene quattro. Quanto fa?". "Tre fa 105, più 30 fa 135, più 35 fa 140". In un secondo momento il ricercatore gli fornisce carta e penna e gli chiede quanto fa 35 per 4. Il ragazzino dice "4 per 5 fa 20, e porto 2. 2 più 3 fa 5, per 4 fa 20" e poi scrive "200" come risposta.
• Altra situazione nello stesso mercato di strada, dove una bambina vende limoni. Alla richiesta di quanto costano 12 limoni da 5 cruzeiros l'uno risponde correttamente: 10, 20, 30, 40, 50, 60 in tutto. Ma poi, in un secondo momento, di fronte alla richiesta di calcolare 12 per 5 risponde 152.
• Molti bambini (indipendentemente dalla nazionalità), nelle prime attività con le frazioni, di fronte alla somma 1/2 + 3/5 (con le frazioni scritte a due piani) forniscono come risultato 4/7, sommando i numeri scritti di sopra e i numeri scritti di sotto. Poi, quando hanno appreso a memoria la "regola" a/b + c/d = (a·d+c·b)/(b·d), eseguono correttamente il calcolo. Ma molti ragazzini più grandi, perso l'allenamento, non sanno più eseguire il calcolo.

Questi sono gli esiti di esperimenti svolti parecchie volte. Quali problemi sollevano?

• Il ragazzino sa immediatamente, per esperienza, che tre noci di cocco costano 105 cruzeiros.  Per aggiungere il prezzo della quarta, lo arrotonda a 30, aggiunge 30 a 105, ottiene 135, poi aggiunge i 5 che aveva trascurato ottenendo 140.  Il problema "su carta" numericamente era lo stesso del problema "reale", ma il ragazzino tenta di applicare il metodo standard scolastico:  per calcolare 35×4 parte dalla "colonna" a destra facendo 4×5 ottenendo 20, scrive 0 e riporta 2, che somma al 3 della colonna a sinistra ottenendo 5, poi fa 5×4 e ottiene 20 che mette davanti allo 0, avendo infine 200.  Ha cercato di ricordare la "regola", ma ha sommato 2 a 3 invece che sommarlo alla fine al risultato di 3×4.

• Analogamente la bambina "in situazione" sa che 12 volte 5 fa 60, ma di fronte all'esercizio proposto in un contesto che ricorda la "scuola" tenta di eseguire il calcolo in astratto, perdendo contatto col significato dei numeri:  prima abbassa il 2, poi il 5, e poi l'1, dando come risposta 152.

• Per i bambini questa sembra la cosa più logica dal punto di vista "simbolico", se non si pensa al "significato" dei rapporti. Le manipolazioni dei simboli che si devono effettuare per ottenere la risposta giusta sono piuttosto complicate. La memorizzazione della regola, senza la comprensione piena di quello che si sta facendo, non è tuttavia difficile, ma essa diventa un tassello che contribuisce, implicitamente, alla percezione della matematica come un insieme di regole per fare delle cose con i simboli.

Una riflessione approfondita sulle diffcoltà dei bambini dei primi due esempi le trovi nei commenti a cui si viene rinviati in questo esercizio.

Le frazioni, nella scuola di base, vanno riferite ai pochi contesti in cui si usano effettivamente, occorre imparare presto ad operare contemporaneamente con frazioni e con numeri decimali (trasformando le une negli altri e viceversa a seconda delle esigenze), ...: vedi qui e vedi qui.

Ed occorre far fronte, presto, senza precoci formalizzazioni, a contesti in cui si usano i rapporti, come ad esempio illustrato nei seguenti esempi  qui,  qui,  qui  e  qui.