In molti libri di testo di matematica per la scuola secondaria di primo e di secondo grado si trovano brani di questo tipo.  Come li valuti?

In una città viene registrata, a intervalli di tempo regolari, la temperatura dell'aria nel corso della giornata.  La temperatura (y) "dipende" dall'ora (x) in cui viene misurata: è una "funzione" dell'ora.  Una funzione in cui il legame tra x ed y non è esprimibile con una formula matematica si definisce "funzione empirica".
Nel caso del costo di una piscina (y) legato ai mesi di frequenza (x) dalla formula  y = 40 +30 ·x,  e in ogni caso in cui il legame tra x ed y è calcolabile mediante una formula matematica,  la funzione si definisce "funzione matematica".

    Questi brani sono, purtroppo, testimonianze di grande ignoranza (matematica, si intende) e di insensibilità didattica, e del modo in cui, non di rado, l'insegnamento costruisce misconcezioni nella testa degli alunni, che poi sarà difficile "smontare".
    La funzione che agli input 1, 2, 3 e 4 associa, rispettivamente, gli output 3, 100, -7 e 2 è "empirica" o "matematica"?  Basta pensare a questo esempio per capire che non ha alcun senso la distinzione operata da questi manuali.
    Poi, riflettendo sulla natura della matematica, che senso ha distinguere il caso della temperatura da quello del costo della piscina?  In entrambi i casi si tratta di funzioni che legano due grandezze che esprimono dei fenomeni reali;  nel momento in cui rappresento le grandezze con dei numeri, in entrami i casi le due funzioni sono degli oggetti puramente matematici.  La differenza sta, eventualmente, nel fatto che in un caso ho un modello matematico che "descrive" un fenomeno, nell'altro ho un modello matematico che "regola" un fenomeno.
    Con delle formule posso poi esprimere solo una "piccolissima" quantità di funzioni (le quattro operazioni, la funzione che ad U associa √U, quella che ad A e B associa A/(A+B), …):  le funzioni rappresentano dei generici modi di associare output ad input, non necessariamente attraverso un calcolo!
    Poi, perché costruire subito l'idea che gli input e gli output devo essere indicati con x e con y?

    Per qualche considerazione più generale vedi QUI.

    Per altre considerazioni vedi (qui) gli esercizi sulla "didattica della matematica"  1.6 (modelli descrittivi e normativi),  2.18 e 3.21 (altre definizioni presenti in libri di testo).  Per eventuali approfondimenti vedi qui (note 1 e 4).