Federico Enriques affermò:  L'ostentata incomprensione totale delle matematiche da parte di uomini intelligenti deve essere messa in dubbio. Nel maggior numero dei casi si tratta di un'antipatia che fa rifuggire da questo studio giovani di cui non si è saputo destare l'interesse: e la responsabilità tocca all'insegnante  (vedi Le Matematiche nelle scuola e nelle cultura, a cura di A.Frajese, Zanichelli, Bologna, 1938).  Anche oggi frequentemente sentiamo persone colte e intelligenti dire che a scuola non hanno mai capito un granché di matematica.  Come mai?  Riflettete, per esempio, su come in genere vengono introdotti i numeri razionali e, poi, leggete i commenti a questo esercizio e, in particolare, le osservazioni di Bruno De Finetti.

I numeri razionali sono i numeri scrivibili sotto forma di "ratio" tra numeri interi.
["ratio, onis" era il termine latino per "rapporto";  da "ragione", parola nata come deformazione di "razione", deriva ragionieria, ossia l'applicazione della matematica elementare - rapporti, proporzionalità ... - ai calcoli di tipo economico]

    Esempi di numeri razionali, scritti in base dieci:
155.222..., -3.33..., 3.7000..., 3.6999... (i puntini, "...", indicano che le tre cifre finali uguali proseguono oltre ogni limite).
[155.222... = 155+2/9;  -3.33... = -10/3;  3.7000... = 37/10]
    3.7000... e 3.6999... sono oggetti diversi come espressioni ma uguali in quanto numeri. Vediamo perché.
    Guardiamo la figura seguente, in cui 3.7, 3.698, ... indicano 3.7000..., 3.698000..., ... sottintendendo gli zero finali.

    Le tacche 3.699, 3.6999, 3.69999, ... distano 0.001, 0.0001, 0.00001, ... da 3.7 (ossia 3.7000...).  3.6999... ha distanza da 3.7 più piccola di 0.001, 0.0001, 0.00001, ..., ossia ha distanza 0.  Conludendo  3.6999... = 3.7000...

    I numeri razionali coincidono con i numeri periodici.  Osserviamo che anche 3.7 (inteso non come numero approssimato, ma come abbreviazione di 3.7000...) è un numero periodico (con periodo 0 o con periodo 9 a seconda di come vengono scritte le prime cifre).  Il concetto di numero limitato non esiste.  Si può parlare di numero decimale limitato per intendere un numero con periodo 0 (o 9) in base dieci, ma tale numero, scritto in una base diversa da dieci, potrebbe avere un periodo diverso da 0 (e viceversa un numero non limitato in base dieci può esserlo in un'altra base).  Esempi:

0.2000... in base dieci diventa espresso in base due 0.001100110011... (con periodo 0011)
9:25:20 in base sessanta (9 h 25' 20") diventa in base dieci 9+25/60+20/60/60 = 9.4222...

    I numeri razionali sono casi molto particolari di numeri, ossia di quelli che, nelle scuole superiori, vengono chiamati numeri reali (per distringuerli dai numeri complessi), ossia dei numeri utilizzati per esprimere alcune misure esatte "reali" come lunghezze, posizioni, temperature, tempi, … (anche se le misure "esatte" sono delle astrazioni che non possono essere ottenute con gli strumenti di misura).  Un semplice esempio di numero che non è razionale, cioè non è periodico:  1.01001000100001000001... (e così via aumentando di volta in volta la quantità di "0" tra un "1" e l'altro).

    I numeri "reali", o, meglio, i numeri in notazione posizionale con lunghezza arbitraria, erano già padroneggiati dai babilonesi (vedi) che, ad esempio, sapevano descrivere in base 60 la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato 1 come 1:24:51:10  (= 1+24/60+51/60^2+10/60^3 che in base dieci vale 1.41421296… - sappiamo che √2 = 1.41421759…).  Del resto anche i bambini hanno subito a che fare con numeri che non sono rapporti tra interi, come il fattore, ora considerato, per cui moltiplicare il lato di un quadrato per avere la diagonale o quello per cui moltiplicare il diametro di un cerchio per averne la circonferenza.

    Si possono definire i numeri razionali direttamente, senza disporre dei numeri "reali"?

    Nel corso di laurea in matematica lo si potrebbe fare, anche se questo in genere non accade. Nei livelli scolastici precedenti decisamente no. I libri scolastici che lo fanno contengono grossolani errori. Vediamo come possono essere definiti senza ricorrere ai numeri reali.

    Non abbiamo i numeri decimali ma solo i numeri interi. Quindi dobbiamo pensare il numero razionale che corrisponde, ad esempio, a 0.2000... come 2/10 o come 1/5 o come 20/100 o come 3/15 o … ovvero come le coppie di numeri interi (2,10), (1,5), (20,100), (3,15), …
    Dobbiamo identificare queste coppie di numeri in un unico oggetto, così come dobbiamo identificare (3,2), (6,4), (15,10), … che rappresentano 1.5000…, e così via.
    La cosa viene realizzata considerando l'insieme U delle coppie di numeri interi (m,n) con n≠0 e definendo due coppie (m1,n1) e (m2,n2) "equivalenti" quando (se avessi già a disposizione i numeri razionali) m1/n1 = m2/n2, ossia quando m1·n2 = m2·n1.
    A questo punto possiamo suddividere l'insieme U in tante classi ciascuna costituita da coppie tra loro equivalenti. È l'insieme di queste classi che possiamo "definire" come insieme dei numeri razionali. Poi si definiscono opportunamente somma e prodotto, e così via.

    Quale senso potrebbe avere affrontare questo procedimento con gli alunni?  Ma senza seguire questo procedimento non posso introdurre il concetto di numero razionale senza disporre già dei numeri reali!

    Del resto nel classico manuale di algebra americano Modern Elementary Algrbra della collana Schaum (della McGraw-Hill Book Company), sin dalla prima edizione (1973) si introducono i numeri reali all'inizio del volume (3º capitolo) e i numeri razionali verso la fine (12º capitolo).  E cosa diceva Bruno De Finetti nel 1974, nel Periodico di matematiche, nel famoso articolo Contro "la matematica per deficienti":

    Per qualche approfondimento vedi l'esercizio sulla "didattica" 1.27.