In una sequenza di esercizi proposta nell'ambito di una "famosa" indagine internazionale sull'apprendimento matematico si trovano vari esercizi come questo (proposto per studenti di 15 anni). Discuti criticamente l'esercizio.

Un agricoltore pianta dei meli in modo da formare un quadrato. Per proteggere questi alberi dal vento, pianta delle conifere intorno al frutteto. Qui puoi vedere uno schema che rappresenta la disposizione dei meli e delle conifere per un numero qualsiasi (n) di filari di meli.

1) Completa la tabella a lato.

n = numero di meli numero di conifere

1 1 8

2 4

3

4

5

2) Con le due formule seguenti puoi calcolare il numero di meli e il numero di conifere della disposizione descritta prima (n è il numero dei filari di meli).
numero dei meli = n² numero delle conifere = 8n.

Vi è un valore di n per cui il numero di meli è eguale al numero di conifere. Trova il valore di n e mostra il metodo che hai usato per calcolarlo.

3) Supponi che l'agricoltore voglia ingrandire il frutteto con molti filari di alberi. Man mano che l'agricoltore ingrandisce il frutteto, che cosa aumenta più velocemente: il numero di meli o il numero di conifere? Spiega come hai trovato la risposta.

Sarebbe meglio un esercizio puramente interno che un esercizio in cui si fa riferimento ad una realtà inesitente. A parte questo, lo schema (come tutti gli schemi) non può rappresentare la disposizione "per un numero n qualsiasi", ma solo per un numero finito di casi. È buona l'idea di far compilare la tabella per un n maggiore di quelli rappresentati nei disegni: i ragazzi sono indotti a ragionare e a trovare (o, meglio, congetturare) un procedimento di calcolo. Il modo per trovare n tale che valga l'eguaglianza richiesta non passa necessariamente attraverso un "calcolo" diretto: questa indicazione, presente nel testo, rischia di tagliare fuori metodi più semplici o "diversi".

n = numero di meli numero di conifere

1 1 8

2 4 16

3 9 24

4 16 32

5 25 40

Esempi di modi per risolvere il problema:
- possiamo completare la tabella per altri n e trovare che per n=8 i due termini valgono entrambi 64;
- possiamo arrivare a ciò anche direttamente, osservando i due termini e notando che n² = n·n;
- possiamo usare un metodo più generale, grafico (vedi figura a lato);
- o possiamo, più scolasticamente, risolvere l'equazione n² = 8n (che per n > 0 equivale a n=8).

L'ultima domanda è clamorosamente sbagliata (a meno che non si volesse avviare una "esplorazione" del problema, ma questo non verrebbe fatto in un'indagine sulle competenze come quella in cui era inserito il quesito):

fino a n=3 cresce più velocemente 8n, quando n=4 crescono con la stessa velocità, per n maggiore cresce più velocemente n·n; almeno, questo si potrebbe dire supponendo che n vari con continuità ...

Esempi di modi per risolvere il problema: - possiamo completare la tabella per altri n e trovare che per n=8 i due termini valgono entrambi 64; - possiamo arrivare a ciò anche direttamente, osservando i due termini e notando che n² = n·n; - possiamo usare un metodo più generale, grafico (vedi figura a lato); - o possiamo, più scolasticamente, risolvere l'equazione n² = 8n (che per n > 0 equivale a n=8).
L'ultima domanda è clamorosamente sbagliata (a meno che non si volesse avviare una "esplorazione" del problema, ma questo non verrebbe fatto in un'indagine sulle competenze come quella in cui era inserito il quesito):