In un libro di testo per le superiori si trovano le seguenti definizioni, seguite da esempi nei più vari campi (ad es. di classificazione di animali in selvatici e domestici).

Definizione: "una collezione di oggetti è un insieme se preso un oggetto qualunque possiamo decidere esattamente se appartiene o no a tale collezione".
Definizione: "dati due insiemi non vuoti A e B si chiama applicazione (o funzione) di A in B una relazione che fa corrispondere ad ogni elemento x di A, uno ed un solo elemento y di B".

Queste definizioni non sono precedute dalla definizione di altri termini in esse coinvolti.

Discutile.

Negli Oggetti Matematici, qui, è discusso il problema di come definire/introdurre questi concetti.  Le "definizioni" che si trovano in questo libro di testo sono gravemente errate. Vediamo perché.

    Negli esempi di insiemi "non matematici" proposti dai libri è spesso assai ambiguo decidere l'appartenenza: come distinguere "rigorosamente" gli animali domestici da quelli non; più in generale, si pensi all'incertezza circa la stessa appartenza alla collezione degli animali da parte di alcuni microorganismi.  Del resto tali asserzioni contraddicono l'essenza stessa dell'attività matematica: se non si fosse ancora dimostrato che π (pi greca) non è un numero razionale non si potrebbe parlare dell'insieme dei numeri razionali? (un problema tipico del matematico come quello dello studio della appartenenza di una certa equazione [o funzione o altro oggetto matematico] a un particolare insieme di equazioni [o funzioni, …] può essere posto solo dopo aver in qualche modo individuato tale insieme !). Per inciso, vi sono infiniti numeri per i quali, al momento, non si sa se sono razionali o no (ad es. 2^e, π^√2, π^e).  Poi, che cos'è una "collezione", che cosa vuol dire "decidere", ….

    Circa la definzione di "funzione", val la pena osservare che ci si ferma alle funzioni ad un input, mentre le prime funzioni con cui hanno a che fare i bambini sono a più input (la somma, il minimo e il massimo, …). Poi in quasi ogni software matematico è una funzione qualunque algoritmo che associ output ad input (ad es. la funzione che associa ad ogni quintupla F,a,b,c,d - dove F è una funzione dall'intervallo [a,b] in R - la porzione del grafico di F che sta in [a,b]×[c,d]).
Poi ci si appoggia al termine "relazione", che non viene definito.
Perché, poi, escludere che A possa essere vuoto? …
Altro discorso sarebbe quello di formalizzare il concetto di funzione in un corso universitario di matematica o fisica, in cui si potrebbero, con una certa disinvoltura, considerare insiemi A che sono prodotti cartesiani di altri insiemi, od oggetti matematici più complessi.
Perché, poi, mettere le inutili aggiunte "x" ed "y"?  (e per "scimmiottare" che cosa aggiungere, all'inizio delle superiori, il termine "applicazione"?).

    Per approfondimenti vedi i link presenti qui.