Nel 1996 a circa 250 studenti del 1º anno delle superiori (circa il 60% di licei, il 30% di istituti tecnici e il 10% di istituti professionali) è stato somministrato un questionario comprendente sia domande di carattere generale che domande tecniche, col fine di esplorare le loro competenze e l'immagine della matematica che avevano alla uscita dalla scuola media. Ad esempio di fronte alla domanda "Secondo te a che cosa serve la matematica?" più della metà degli studenti ha scelto "per imparare a ragionare", di fronte alla domanda "Secondo te che cosa serve per essere bravo in matematica?" (con la richiesta di indicare 2 risposte) la maggior parte degli studenti sceglie la coppia "saper riflettere" e "essere attenti a non sbagliare calcoli, passaggi, …".
Vediamo, infine, nella tabella a lato (riordinata in base agli esiti), il loro comportamento di fronte alla risoluzione di alcune equazioni rispetto ad x. Molti non hanno scritto alcuna risposta: circa il 70% di fronte alla equazione (c), circa il 20% di fronte alla (j), circa il 40% di fronte alle altre equazioni. Di fronte alle equazioni (a), (d) ed (f) circa il 7% dice che non ci sono soluzioni. Commenta i diversi esiti di fronte alle varie equazioni, cercando di individuare la tipologia di errori e/o l'origine delle difficoltà e delle misconcezioni evidenziate dagli alunni.

equazioni OK

(a) 2(x-x) = 0 7%

(b) 3/x = 0 11%

(c) x = 3x 17%

(d) 3/4 = x 28%

(e) 3 = x−1 40%

(f) 5x = 0 45%

(g) 6/x = 3/2 48%

(h) x/2 = 0.5 48%

(i) 75/100 = x/4 52%

(j) 12/x = 6 65%

Molte delle difficoltà incontrate dagli studenti nell'apprendimento della matematica sono indotte dal modo in cui certi concetti vengono introdotti a scuola e, più in generale, sono da collegare alla visione culturale della matematica e all'atteggiamento verso il lavoro matematico che tende, spesso, a costruire la scuola, testimoniati dalle loro risposte alle due domande citate. Dalle risposte alla seconda domanda si deduce che nelle esperienze scolastiche degli alunni sono in genere trascurati l'uso di schede di lavoro, le discussioni collettive, i lavori di gruppo, l'attenzione alla presenza tra di loro di diversi stili cognitivi, e che in generale l'apprendimento scolastico è spesso separato da altre forme di apprendimento diffuse in ambiti extrascolastici come il gioco, lo sport, il lavoro, …
I problemi degli studenti di fronte alla risoluzione delle equazioni proposte confermano questa analisi.
L'equazione (a), che è sempre vera, e che dovrebbe essere la più facile da risolvere, è quella che è andata peggio: solo il 7% ha risposto correttamente, tanti quanti quelli che hanno risposto che non ci sono soluzioni; mentre il 40% non ha indicato risposte, circa altrettanti ha indicato varie altre risposte. Ciò è legato a due fattori: (1) l'equazione non è nella forma "standard" a·x = b che gli studenti sono stati allenati a risolvere, (2) negli alunni è stata costruita l'idea che le equazioni abbiano tutte al più una soluzione (o un numero finito di soluzioni).
Anche l'equazione (b) dovrebbe essere facile da affrontare: non c'è alcun numero x tale che 3/x sia 0. Solo l'11% risponde correttamente. Il 50% che esplicita delle soluzioni indica x = 3 o x = 0, dimostrando che non è stato fatto loro mettere a fuoco che cosa vuol dire risolvere un'equazione. la principale origine di queste risposte risiede nel fatto nell'insegnamento algebrico, per facilitare la descrizione e la memorizzazione di alcuni procedimenti, vengono introdotti e usati diffusamente modi di dire ("cancello", "porto a destra", …) tratti dalla lingua comune senza chiarire agli alunni il significato metaforico che sta dietro al loro uso.
Le terza equazione per difficoltà incontrate dagli alunni è stata la (c), anche questa banale ma non nella forma "standard": solo il 17% la risolve correttamente e ben il 70% non indica alcuna risposta. Le enormi difficoltà riscontrate di fronte alle equazioni (b) e (c) testimoniano anche che non sono state rispettate le indicazioni dei programmi scolastici che, da ormai vent'anni, indicavano l'intreccio del tema della risoluzione delle equazioni con l'analisi dei grafici delle funzioni x → k/x e x → a+b·x, introdotti riferendosi a situazioni concrete modellizzate da tali funzioni. Ecco, sotto, l'interpretazione grafica delle equazioni (b) e (c).

Insomma, questi esempi mettono in luce come nell'insegnamento, spesso, si tenda ad abituare gli alunni ad usare "ricette" senza riferirsi al significato di "risolvere un'equazione", a privilegiare, sia nelle spiegazioni che nelle valutazioni, le abilità hard (da "macchine") e trascurare il confronto tra diversi metodi di risoluzione (algebrico, grafico, numerico), la modellizzazione mediante equazioni, … , cioè le attività più soft (da "umani"), che motiverebbero e farebbero comprendere meglio il significato della risoluzione di equazioni.

Gli esiti disastrosi di fronte alla equazione (d), di cui, nonostante sia già risolta, solo il 28% indica la soluzione, evidenzia come i ragazzi (grazie alle batterie di esercizi di calcolo di espressioni in cui "=" è sempre "fa" o "diventa") non padroneggino la commutatività di "=". Ben l'8% di essi indica la soluzione x = 4/3, frutto di qualche "porto a destra" e "porto a sinistra". Quasi altrettanti dicono l'equazione non è risolubile. Anche gli esiti disastrosi dell'equazione (e), che addizionando 1 ad entrambi i membri diverrebbe subito 4 = x, sono frutto di manipolazioni sbagliate operate nel trasportare la x a sinistra e il 4 a destra, e nel cambiare segno; anche quasi tutti coloro che hanno risposto correttamente hanno proceduto in questo "strano" modo, a cui evidentemente sono stati abituati dagli insegnanti e/o dai libri di testo.

L'addestramento a risolvere equazioni standard a·x = b con a e b diversi da 0, e la non abitudine a ragionare, operativamente, sulle proprietà di 0 (e di 1), rende più difficile affrontare l'equazione (f), che risolvono solo il 45% dei ragazzi (e della quale per il 7% non ci sono soluzioni), rispetto ad un'equazione come 5x = 10, che quasi tutti risolvono correttamente.
L'equazione (j) è quella che ha il maggior numero di soluzioni esatte e il minor numero di assenza di risposte. Molto probabilmente gli alunni si trovano di fronte ad una formula che richiama immediatamente la divisione 12/2 = 6. Fra le rimanenti equazioni la (i) viene affrontata meglio delle altre (e nonostante che l'incognita sia a destra), forse perché richiama il rapporto d'uso comune 75/100 spesso presentato come 3/4 o, perché qualche alunno la interpreta come una "porporzione" (e le proporzioni è stato "abituato" a risolverle con ricette diverse da quelle a cui è stato abituato per le equazioni). (g) ed (h), per quanto banali, sono soggette a qualche manipolazione sbagliata (ad esempio c'è qualche studente che trasforma la (g) in 2/x=1/2 e poi in x=4 o, attraverso strane semplificazioni e spostamenti, in x=3·3=9).