In un libro di testo recente per la 1ª superiore (simile a gran parte dei libri più diffusi)
leggiamo:
Quando facciamo scorrere la punta di una matita su un foglio tracciamo una linea.
Fra tutte le linee la più importante è la retta, che possiamo
pensare come una linea tracciata con una riga e prolungata indefinitamente col
pensiero da una parte e dall'altra. La retta ha le seguenti
proprietà che la caratterizzano
(segue qualcosa che l'autore
chiama postulato fondamentale della retta e che assomiglia vagamente al primo e al terzo assioma
della versione riportata dell'Enriques-Amaldi). Vale poi il seguente
postulato fondamentale del piano (segue qualcosa che assomiglia vagamente all'assioma 6
dell'Enriques-Amaldi). Una linea che non sia una retta
si dice curva, e il tratto di linea compreso tra
due punti A e B si chiama arco di estremi A e B. Ammettiamo il seguente postulato: un qualunque
arco di linea che abbia per estremi A e B siuati da parti opposte di una retta interseca questa
in almeno in un punto.
Supponendo che i primi due postulati siano scritti correttamente (e che siano aggiunti
gli altri assiomi fino al 6 dell'Enriques-Amaldi), discuti la correttezza
di quanto esposto nel libro.
Premessa. Una sistemazione assiomatica della geometria, a partire dal Piano Nazionale
Informatica e dalle prime riforme della scuola secondaria superiore (ormai alcuni decenni fa),
è prevista per la fine delle superiori, in alcuni tipi di scuole. Le motivazioni
di una tale scelta le puoi ritrovare qui
(e nei link ivi presenti).
A parte questo, il libro di testo (coma quasi tutti i libri scolastici con un approccio
assiomatico alla geometria) fa, inconsciamente, una buffa mescolanza
di giustificazioni intuitive e di argomentazioni formali. Qui (a parte alcuni banali
refusi, come il non considerare le rette tra le curve!) si introduce informalmente il
concetto di linea e si prosegue lo sviluppo del libro (a partire dal postulato che viene
riportato come terzo) basandosi sul concetto di curva continua (o linea, per usare il termine
del libro) senza aver definito la continuità!!!
In questo, e in libri analoghi, tra le altre
amenità, si trova detto che un punto è un "ente senza dimensioni", per poi considerare la lunghezza
dei segmenti e considerare di lunghezza nulla il segmento che coincide con un punto: ma allora posso misurare un
punto? Nel linguaggio comune con "dimensione" si intende ogni misura che individua l'estensione di un corpo,
ossia la lunghezza, la larghezza e l'altezza, e quando, ad esempio, si parla di una figura a 2 dimensioni
si intende una figura piana; in matematica con "dimensione" di uno spazio in genere si intende il numero delle
coordinate con cui individuarne i punti; un punto può quindi essere considerato, a seconda dei casi,
un elemento di uno spazio a 1, 2,
dimensioni. Qui non si capisce che significato venga dato alla
parola "dimensione" (sul significato di "punto" vedi Gli Oggetti
Matematici).