In un libro per le superiori viene proposto di trovare il prodotto tra due grandezze di cui si conoscono le misure approssimate 0.10±0.03 e 2.0±0.6. Si procede in questo modo. Il prodotto è 0.20. La precisone relativa della prima grandezza è 3/10, quella della seconda è 6/20 = 3/10. Quindi la precisone relativa del prodotto è 3/10+3/10 = 6/10, e la precisione assoluta è 0.20·6/10 = 0.12. Concludendo il prodotto delle grandezze è 0.20±0.12. Discuti la correttezza di quanto proposto dal libro.
Un tempo, fino circa al 1970, quando non erano diffuse
le calcolatrici tascabili, per trovare la precisione relativa del prodotto di
due misure approssimate si procedeva stimandolo mediante la somma delle precisione
relative.
Questo procedimento tiene conto del fatto che se, dei numeri positivi x ed y,
conosco le approssimazioni X±ΔX
e Y±ΔY, di x·y posso dire che è compreso
tra (X-ΔX)(Y-ΔY) = XY-YΔX-XΔY+ΔXΔY
≈ XY-(YΔX+XΔY) e
(X+ΔX)(Y+ΔY) = XY+YΔX+XΔY+ΔXΔY
≈ XY+(YΔX+XΔY), dove le approssimazioni
sono state fatte in quanto ΔX·ΔY è decisamente
più piccolo degli altri termini della somma;
in definitiva (X±ΔX)·(Y±ΔY) ≈
XY±(YΔX+XΔY)
=
Ma questa è solo una approssimazione, che veniva usata se le precisoni
considerate erano molto buone, per cui il termine
ΔXΔY era effettivamente trascurabile.
Da quando esistono le calcolatrici questo procedimento non è
più necessario. Può essere utile per stime che orientino
su come migliorare le misurazioni (vedi qui l'es. 2.15). Nel nostro caso, che è comunque
affrontabile facilmente senza alcun mezzo di calcolo, troviamo
che al minimo il nostro prodotto vale 0.07·1.4 = 0.098 = 0.10 (arrotondamento
a due cifre) e che al massimo vale 0.13·2.6 = 0.338 = 0.34 (arrotondamento
a due cifre), per cui possiamo prendere 0.22±0.12.
Si può procedere in modo simile in casi più complessi. Volendo si può ricorrere ad un semplice script (online o scaricabile sul proprio computer), come questo:
Usando WolframAlpha:
minmax x*y if (0.10-0.03 < x < 0.10+0.03, 2-0.6 < y < 2+0.6)
min{x y|0.07<x<0.13 & 1.4<y<2.6} = 0.098
max{x y|0.07<x<0.13 & 1.4<y<2.6} = 0.338
Per altri commenti: 
calcolo approssimato neGli Oggetti Matematici.