Supponiamo di avere 49 cerchi identici, di diametro 1.  Qual è la dimensione del più piccolo quadrato che li contenga tutti?  Ti sembra sensata la risposta suggerita dalla figura a lato?  Come potresti confermarla?

	Avendo una visione "scolastica" della matematica si è indotti a pensare che la risposta suggerita dalla figura rappresentata a destra del quesito (un quadrato di lato 7) sia affermativa.  Ci può sembrare che questa risposta sia confermata dal fatto che nessun cerchio è spostabile: non c'è alcun modo di spostare i cerchi e di ottenere una nuova disposizione. Ma la rigidità non ci assicura che non ci sia una risposta migliore! Si può dimostrare (in modo non facile) che, disponendo i cerchi in modo diverso, come illustrato nella figura a sinistra (cliccala per ingrandirla), basta un quadrato di lato 6.974213… (che il lato sia inferiore a 7 lo si capisce osservando come sono disposti i cerchi lungo il lato destro). In particolare, un contenitore "ideale" a base quadrata per 49 bottiglie di egual diametro non ha lato pari a 7 diametri, ma inferiore.  Ovviamente, nella pratica, un contenitore di lato 69.74213… cm ed uno di 70 cm occupano lo stesso spazio, ed è ovviamente più facile disporre le bottiglie in modo regolare, come nella prima figura!
Questo esempio mostra come l'intuizione, soprattutto in ambito geometrico, dia sia spesso origine a misconcezioni. Molte delle dimostrazioni geometriche presenti nei libri di testo più diffusi si basano su argomentazioni intuitive non giustificate con delle effettive prove.
Se sei interessato ad approfondire aspetti di questo tipo vedi "I grandi problemi della matematica" (The great mathematical problems) di Ian Stewart.

La figura puoi tracciarla con WolframAlpha introducendo "pack 49 circles in a square".