In un libro di testo, per l'inizio delle superiori, dopo una "tradizionale" introduzione assiomatica del piano, si trova la seguente dimostrazione. Pierino non la capisce. Perché secondo voi?

Ipotesi:   AB = MN, AC = MP, ∠A = ∠M Tesi:   esiste un movimento rigido che porta ΔMNP a coincidere con ΔABC. Dim    Poiché ∠A = ∠M, esiste un movimento che fa sovrapporre le semirette MN e MP rispettivamente alle semiretta AB e AC. Poiché AB = MN e AC = MP lo stesso movimento deve far coincidere pure N con B e P con C.     Quindi con un movimento è possibile far coincidere i vertici dei due triangoli, che sono dunque uguali. EndDim

    Questa dimostrazione, se letta non superficialmente, crea indubbiamente qualche fastidio: sembra troppo banale, non convince del tutto, ... .
    In effetti dal fatto che esistono un movimento M1 che trasforma ∠M in ∠A, un movimento M2 che trasforma il segmento MN nel segmento AB e un movimento M3 che trasforma il segmento MP nel segmento AC, non si può dedurre che esiste un "movimento" (M1 o un altro) che fa tutte e tre le cose.
    Il libro di testo non ha delimitato il (ovvero, non ha esplicitato con opportuni assiomi la portata del) concetto di movimento: le proprietà che i movimenti conservano, il modo in cui possono essere composti, ... .
Ne ha fatto un uso illecito nella dimostrazione del 1° criterio inducendo una confusione tra spiegazioni "fisiche" e argomentazioni "matematiche" (in un approccio assiomatico, la strada alternativa alla definizione di movimento è quella del vecchio "Enriques-Amaldi", e di Hilbert: assumere il 1° criterio come assioma).
    Vi sono, poi, altre questioni che, forse, sono all'origine del fastidio: perché parlare di "movimento rigido"? le figure sono corpi o parti di spazio? le figure (intese come insieme di punti) sono uguali come insiemi o come figure? ...
    E, ad un livello più generale, vi sono perplessità del tipo "a che serve dimostrare cose così banali, molto più evidenti di altre cose prese come assiomi?".
La risposta non è semplice, e (al di là della errata assiomatizzazione della geometria usata dal libro) deve fare i conti col fatto che nell'ambito di una teoria assiomatica come questa la dimostrazione non si preoccupa tanto di certificare la verità di quanto affermato, quanto la adeguatezza dei postulati alla cattura delle "conoscenze" che si vogliono inquadrare assiomaticamente. Questo è uno dei motivi per cui una riflessione sulla/sulle assiomatizzazioni della geometria dovrebbe essere affrontata solo alla fine delle scuole superiori.

    Per approfondimenti, vedi le considerazioni svolte sull'es. 4 a cui accedi da qui (clicca >>>).