Usando il seguente file di Cinderella, clicca, o le seguenti istruzioni per R, clicca, o questo file , clicca, viene proposto un problema. Risolvi il problema nel modo che ti sembra più facile e indica in quale livello scolastico secondo te è affrontabile, come e perché in tal modo?
Qual è il valore "massimo" arrotondato a 7 cifre della lunghezza della spezzata HPK? Come lo hai trovato?

Le immagini seguenti richiamano quanto si può osservare con i due file precedenti, da cui si deduce facilmente (anche senza guardare le istruzioni presenti in essi) che PH e PK sono perpendicolari ai due lati eguali del triangolo isoscele.

Il modo in cui è formulata la domanda e qualche ragionamento superficiale ci potrebbero indurre a pensare che la lunghezza è massima quando P è al centro o quando è ad una delle estremità della base. Ma osservando le animazioni ci rendiamo conto che la lunghezza di HPK non dovrebbe variare.

Si intuisce anche che risolvere il problema in modo giustificato non è complesso. Il modo probabilmente più semplice per affrontarlo è ragionare sulla figura considerando il fatto che i triangoli T1 e T2 hanno la stessa forma. La seguente animazione illustra l'idea che si potrebbe avere:

i due triangoli rettangoli T1 e T2 sono simili tra loro, e sono simili al triangolo giallo; se T1 ha l'ipotenusa che è il 70% di quella del triangolo giallo, anche il suo cateto maggiore è il 70% del cateto maggiore del triangolo giallo e il suo cateto minore è il 30% di esso; in definitiva, la somma dei due cateti è eguale al cateto maggiore del triangolo giallo, e questo vale per ogni coppia di T1 e T2!

Abbiamo dunque che la lunghezza della spezzata HPK è sempre eguale a quella che ha nel caso raffigurato sopra a destro in giallo, cioè ad h. Come faccio a trovarne il valore?

Posso procedere in vari modi, ma il più semplice è forse ricorere al fatto che so determinare l'area del triangolo (disegnato anche qui a sinistra) facendo 8·9/2, che essa è eguale anche a L·h/2 (vedi la figura qui a sinistra):
8·9/2 = L·h/2 h = 8·9/L
e che la lunghezza L posso determinarla col teorema di Pitagora:
L = √(4² + 9²)
da cui:
h = 8·9/√(4² + 9²) = 7.31049238896… il cui arrotondamento a 7 cifre è 7.310492.

Un modo alternativo:

i triangoli rettangoli di ipotenusa L e di ipotenusa 8 sono simli, dunque h/8 = 9/L e h = 8·9/L = 8·9/√(4²+9²) = 7.310492.

Per inciso osserviamo che avrei potuto trovare il valore di h direttamente con R, usando il comando che mi consente di trovare la distanza tra un punto e una retta, descritta mediante due punti passanti per essa (vedi):
point_line(4,0, -4,0, 0,9)
# 7.310492 o, volendo più cifre:
more(point_line(4,0, -4,0, 0,9))
# 7.31049238896206
Ovvero potevo usare questo semplice script.

Il modo descritto, basato sulla similitudine dei triangoli, è il procedimento che, in una classe degli anni finali della scuola media inferiore o di quelli inziali della scuola superiore (con alunni grosso modo tra i 13 e i 15 anni) che abbia affrontato lo studio della geometria in modo non stereotipato, intrecciando considerazioni sintetiche e analitiche, emerge facilmente facendo lavorare gli studenti a gruppi sul problema.
In classi abituate ad affrontare le considerazioni geometriche in modo "chiuso" questo problema (e molti altri problemi geometrici "elementari") probabilmente viene considerato lasciando da parte l'intuizione e affidandosi alla ricerca di qualche proprietà studiata da applicare. Vediamo qualche strategia che potrebbe emergere.
Una è descritta nella figura A: traccio sullo stesso triangolo (in rosso) la spezzata corrispondenti al caso in cui K stia sulla base (è un unico segmento) e (in viola) quella corrispondente ad un altro caso; traccio (in verde) per il punto P di questo caso la parallela ad uno dei lati obliqui. Vedo subito che i due triangoli rettangoli evidenziati sono eguali, o, meglio, simmetrici (hanno l'ipotenusa, alla base, in comune e gli angoli eguali) ed hanno quindi i due cateti U e V eguali, quindi, dato che i segmenti W e Z sono eguali in quanto lati opposti di un rettangolo, ….
Nella figura B è descritta un'altra strategia, simile alla precedente, ma forse più intuitiva: ribalto orizzontalmente il triangolo rettangolo colorato in giallo mantenendo l'ipotenusa. A questo punto è edivente che il segmento QR è lungo quanto la spezzata HPK.
In C è presentata una soluzione meno intuitiva, ma facile da capire (che un insegnante potrebbe proporre): se al triangolo aggiungo il triangolo ottenuto mediante un ribaltamento attorno alla base e se prolungo il lato HP fino a incontrare il nuovo triangolo in K', ho immediatamente che HK', dovunque sia collocato P sulla base del triangolo, è pari alla distanza tra i lati opposti del rombo ottenuto, ovvero (vedi l'ultima figura) alla distanza di Q dalla retta r.