Quali tipi di difficoltà mediamente trova uno studente di fine superiori (in Italia ai nostri giorni) di fronte alla risoluzione del seguente quesito e che cosa ne potrebbe essere all'origine.
«Di un quadrato Q si conosce la misura del lato a, 0.9 cm, con la precisione di un millimetro (cioè si sa che la misura di a puņ differire dal valore indicato per eccesso o per difetto al più di 1 mm). Si cancellino con una barra tra i seguenti valori quelli che sicuramente non possono essere l'area di Q»
 1.10 cm²;  0.69 cm²;  0.50 cm²;  0.95 cm²;  0.60 cm²;  0.81 cm²;  0.82 cm²

L'area deve essere compresa tra quella di un quadrato di lato 0.8 cm e quella di uno di lato 1 cm, ossia il suo valore, in cm², deve cadere in [0.64,1]. La risposta corretta è, dunque, cancellare 1.10 cm², 0.50 cm² e 0.60 cm² (e conservare 0.69 cm², 0.95 cm², 0.81 cm² e 0.82 cm²). Puoi usare anche questo script.

Per gli esiti di un quesito analogo, si veda qui: si trattava di più di 7000 matricole della Facoltà di Scienze, delle quali meno della metà avevano risposto correttamente, e poche di queste portando motivazioni corrette (a posteriori, si è potuto osservare che si trattava di un quesito a cui era facile dare una risposta corretta anche con motivazioni sbagliate).

Tra le risposte errate ci si aspettano quelle in cui si osserva che l'area deve essere compresa tra 0.64 cm²−1 mm² e 0.64 cm²+1 mm², e si deduce da ciò che sono da scartare i valori non compresi tra 0.6 cm² e 0,8 cm²; questa motivazione è doppiamente errata (sia nella determinazione della precisione del prodotto che nella somma di grandezze espresse in unità diverse).
Naturalmente, le altre risposte più diffuse che ci si aspetta sono quelle in cui si accettato solo il valore 0.81 cm² e quella in cui si sono accettati 0.81 cm² e 0.82 cm² (0,82 dista 0.01 = 0.1² da 0.81). Altra risposta frequente dovrebbe essere quella in cui sono scartati solo i valori estremi, 1.10 e 0.50 cm².

Riassumendo, le diifficoltà dovrebbero essere:
– se lo studente ha studiato formule "strane" (nel senso di non comprese) per la propagazione degli errori (tipo: precisione relativa del prodotto = somma delle precisioni relative dei fattori - vedi), potrebbe sbagliare nel caso in cui non se le ricordi (e cerchi di farlo senza tentare altri ragionamenti), o le confonda con altre, o si perda nei calcoli;
– se non ha affrontato esplicitamente argomenti di calcolo approssimato, pensare: "non lo so fare" (e non cercare di farlo escogitando qualche ragionamento);
– prendere come approssimazione di A 0.9² = 0.81 e come precisione 0.1²=0.01, ed escudere i valori minori di 0.80 e maggiori di 0.82.
– potrebbero essere presenti anche difficoltà legate al fatto che sono presenti informazioni sia in mm che in cm (ma questa difficoltà dovrebbe presentarsi solo in casi "estremi")
Le origini dovrebbero essere:
– abitudine a studiare/usare (poco criticamente) formule-ricette;
– non abitudine a mettere in campo le proprie risorse per affrontare un problema;
– insegnamento in cui non sono stati introdotti in modo culturalmente e didatticamente efficace i numeri reali;
– insegnamento in cui non sono stati introdotti in modo culturalmente e didatticamente efficace le disequazioni;
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